a³+b³+c³＜abcとなるa,b,cの条件を教えてください

a³+b³+c³＜abcとなるa,b,cの条件を教えてください

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/24 23:31

対称性を破って、 a^3 + b^3 + c^3 < abc を a の不等式として解いてみよう。

それには、方程式 a^3 + b^3 + c^3 = abc を解くことが必要になる。
有名なカルダノの方法は、方程式が 3実解を持つ場合と
2次の補助方程式が虚数解になる場合が対応する という
あまり好ましくない性質を持っているから、やや扱いにくい。
ここでは、 cos の 3倍角公式を使った解法を試みようか。

a^3 + b^3 + c^3 < abc に a = r cosθ, r > 0 を代入して変形すると、
-(b^3 + c^3)/r^3 > (cosθ)^3 - (bc/r^2)cosθ と書ける。
これを cos の 3倍角公式 cos(3θ) = 4(cosθ)^3 - 3cosθ と比較すると、
3/4 = bc/r^2 の場合に不等式は
(1/4)cos(3θ) > -(b^3 + c^3)/r^3 になる。
ここから r を消去した
cos(3θ) > -4(b^3 + c^3) / (4bc/3)^(3/2) を解いて θ の範囲を求めれば
a の範囲が求まる。
-4(b^3 + c^3) / (4bc/3)^(3/2) と ±1 の大小関係で場合分けして...

ああ、めんどい。
No.1 の言うとおり、 a^3 + b^3 + c^3 < abc のままのほうが
条件の表示としては簡潔で扱いやすいと思う。

No.3 回答者： ハイアードピープル 回答日時： 2024/10/20 14:06

b=1、c=1として、a³+2＜aとなるaの条件としても、かなり面倒くさいですね。

a³-a+2＜0は確実に実数解があることは簡単に確かめられますが、この解はカルダノの公式という３次方程式の解の公式を使わないといけません。

カルダノの公式自体は、高校の知識でも理解可能です。a³+b³+c³-3abcの因数分解と立方完成と虚数の３つさえ理解していれば、カルダノの公式は理解可能です。つまり、誘導問題の形で大学入試のテーマとしても扱えます。

これをb=1、c=1と限定せずに考察するならば、３次方程式の判別式、カルダノの公式くらいは知らないといけなさそう。

まあ、立方完成された形だから、まだマシかもしれないが。

二重根号の入力は面倒くさいので、この辺で失礼いたします。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/10/20 13:03

a≦b≦c<0 の場合は 常に成り立ちますが、

それ以外の条件は かなりメンドクサイね。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/10/20 10:01

a, b, cの符号が揃っている場合は条件もへったくれもなく「いつでも NO」と「いつでも YES」。

（A=|a|³, B=|b|³, C=|c|³と書き換えて、さらに左辺に1/3を掛け算した不等式は、いわゆる「相加平均・相乗平均の不等式」の否定。）
でも、a, b, cの符号が揃っていない場合を考えると、さて、 a³+b³+c³＜abc よりも簡潔に表せるかなあ？