確率の問題Ⅲ

くどいですが、確率の問題について疑問をぶつけさせていただきます。
「赤と青の玉が合計１００個入った袋がある。赤玉の個数は1~99個の内から、どの個数も同じ確率で選ばれるランダムな方法で決められた数である。今、Aが目隠しをして、袋から玉を一個取り出した。当然、Aには赤か青かわからない。Aは、もし、手にしている玉が赤なら取り出す前の袋の中に赤玉が６０個以上入っていた確率はベイズの方法を使って計算すると、大体６０%程になると概算したが、目隠しをとるまではそれははっきりしない。ここで、Aは、この状況は、確率値を計算するうえでは、袋から玉を取り出す前と同じではないか、と考えた。つまり、目隠しをとって玉の色を確認するまでは、自分にとって、赤玉が６０個以上ある確率は大体４０%ほどであり、目隠しをとって、玉の色を確認し、それが赤であったなら、６０%程になるのだと推理した。果たして、Aの考えは正しいのか？」
ここでの疑問は、確率の計算において情報不足(この場合は玉の色の不明なこと)が、状況としては異なっている、玉を取り出す前と、取り出した後という二つの状況が、確率を計算するうえでは同等になるのではないか、ということです。結局、玉が赤であれば何％、青であれば何％という形で確率を計算する点では、袋から玉を取り出す前と、取り出しても玉の色がわからないでいる状況は同じになるのではないか？ということです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/17 10:40

なんだかよく判らない日本語で書かれている。

おそらく、質問内容そのものよりも、
質問文の読解のほうが難しい。

袋に赤玉が60個以上入っている確率は約40%である。
袋から1個取り出した玉が赤玉だった場合、
袋に赤玉が60個以上入っていた確率は約60%である。
目隠しをして玉を取り出し、次に目隠しをとったなら、
玉を取り出した時点では赤玉が60個以上入っている確率は40%のままで、
目隠しをとった時に確率が60%に変化する
...と A は考えた。

という話でok？

まず、
目隠しをして玉を取り出した時点では確率は40%のまま
という考えは正しい。

目隠しをして玉を取り出す代わりに、袋が２区画に別れていて
手探りで、玉が100個入った区画から空の区画へ１個移す。
後で袋を開けて、区画の中身を確認する ...という状況を考えれば、
目隠しをして玉を取り出しても何も変わってないことが解る
のではないかと思う。

しかし、
確率が60%に変化する
という考え方はちょっといただけない。

最初の時点で袋に赤玉が60個以上入っている確率と、
取り出した玉が赤玉だった場合に
袋に赤玉が60個以上入っていた確率は、全く別の確率である。
同じものが40%から60%へ変化したわけではない。
ふたつの確率を混同させる要因は、それを共通の言葉
「袋に赤玉が60個以上入っている確率」で表したことにすぎない。
別のものを同じ名前で呼んだだけだ。言葉遊びである。

確率というのは、
袋に何が入っているか？といった物理的状況を表すものではなく、
袋と玉について A が何を知っているか？という情報量を表すもの
なのだ。それを忘れてはいけない。

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/10/16 22:25

Aの考えは一部正しいです。

袋から玉を取り出しても、目隠しをして色を確認しない限り、確率を計算する上で「赤玉か青玉か」がわからないという点では似ていますが、取り出したという行動自体が新たな情報をもたらし、その結果、ベイズ的に確率が更新されるため、玉を取り出す前と完全に同等とは言えません。