数学の本質を理解するとはどういうことですか？数学の問題を理解する時自分は割とざっくりとですが、なんで

数学の本質を理解するとはどういうことですか？数学の問題を理解する時自分は割とざっくりとですが、なんでこの式変形になるのかをよく考えながら理解してます。しかし、それはどこまで考えたらいいのか分からないです。全ての行間を考える作業をしてたら書いてないことまで読み取らなくては行けないので1人でやるとすごく難しく感じます。

そこでどこまでを理解していればその問題は大丈夫なんでしょうか？全ての行間に意味を持たせて理解すること自体行間が書いてないこともあるため、独学だと厳しい気がします。なのである程度なんでこの式変形をするのか分からなくても暗記してしまってもいいのでしょうか？それともしっかり1行1行理解していくべきでしょうか？またその場合どのようにして理解していけばいいですか？

No.9 回答者： kumachanchan 回答日時： 2025/03/03 22:47

難しいですね。

自分をごまかさずに納得できればいいのではないでしょうか。

「この問題は完璧にできた。暗記を一切使わずに定義のみから出発し一切の曖昧さを含まない証明だ！」

みたいに感じるのが大事だと思います。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/28 18:58

本質 とは関係ないことなんだけど、

「定義」と「公準」について気になったので、ちょっと。

まず、定義について：

数学は、約束事を出発点として出来ている体系です。
その約束事を「定義」と言います。
ひとつの物の定義は、何通りもある場合もありますが、
一方を仮定すると他方が証明できるような定義は
「同値な定義である」といって区別しません。

例えば、掛け算の定義で標準的なもののひとつは、
集合 A 上の2つの演算 ＋ と × が「環」の定義を満たすとき、
この × を A 上の「乗法(掛け算)」と呼ぶ... というものです。
Ｎo.7 で挙げられている「掛け算の定義」は、
通常知られている整数環の乗法を自然数に制限したものと
同値ですから、自然数の掛け算の定義といってもかまいません。

しかし、算数を教える人の一部に、これを拡大解釈して
掛け算の定義はこれでなければならないのだ と主張する人
がいて、やや問題だと思っています。
定義とは、用語の意味を定めるものであって、それを
説明する方法を限定する規則ではないからです。
公理の文言は違っても、同値な定義は同値な定義に過ぎません。
こういうの、文系の人には違和感あるのかもしれませんが。

次に、公準について：

「公準」は、ユークリッドの言論で使われた概念ですが、
現在の数学では使われていません。
近現代の数学では、数学は「公理」と「推論規則」で構成されるもの
とされています。この「公理」が約束事の部分であり、
いくつかの公理を束ねることで、ある概念を説明するものが「定義」です。

例として、
　a=b なら、a+c=b+c
　a>b なら、a+c>b+c
は、順序環の定義の一部となっている公理です。
整数環や実数体が順序環であることは、
整数環や実数体の定義に基づいて証明すべき定理です。

No.7 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/02/27 13:18

例

2×6=2+2+2+2+2+2。2を6個足し合わせる事を2×6と書く。

数学は約束事を出発点として出来てる体系。
約束事=定義と公準。これをチャント理解して置く。
上の例は掛け算の定義。

a/b=c。
b倍したらcになる様な数をa/bと書く(定義)。
または
a÷bの商がcの場合に、a/b=cと書く(定義)。

a=bなら、a+c=b+c：約束事(公準)
a>bなら、a+c>b+c：これも約束事(公準)

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2025/02/27 10:13

先の回答は哲学的ないし数学基礎論的な話だったと思いますが、もう少し実務的な事(計算して答えを出すに当たって必要な事)を言うと、それぞれの計算等の意味をちゃんと理解しているかと言う事が挙げられると思います。

例えば移項と言う操作について「左辺にある項を符号を変えて右辺に移動させる」としか思っていなければ「移項の本質を理解している」とは言えないでしょう。「両辺に同じ数を加える事(引く場合も含む)」と言う所まで理解してはじめて「移項の本質を理解した」と言えると思います。

もう少し低学年の内容を言えば、かけ算については「かけ算とは足し算である」と言う所まで理解する必要があります。それを理解していれば、高校ないし大学で出て来る「かけ算の順番を変えると答えが変わる」と言う例についてもそれほど違和感なく受け入れられると思います。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/27 08:53

>本質を理解する

この場合「本質」というのは
解くのに使っている手法の内容/意味や適用範囲を理解すること。

>なんでこの式変形になるのか

こういう当て嵌め的なことじゃなくて、こういう問題だから
この手法を適用すれば解けそうと、手法の内容の理解から見当を
付けることが大事。
式変形はそこからさらに細部の話で日頃の鍛錬がものをいいます。

今使っている手法に対する理解が浅いか深いかは使っていれば
ある程度分かるはず。
問題やってみてこの手法はこんなものに適用可能なんだと感じたら
それが広範囲に応用可能そうなら研究してみる価値があります。

こういう「え！そうなんだ！じゃ、あれもこれも楽できるじゃん」を見つけて深堀するのも数学の楽しみの一つなんですけどね。

問題を解くというのはそういうことを見つけることが目的の一つだと思ってます。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2025/02/27 08:43

少なくとも式変形は「数学の本質」とは無関係でしょう。

「数学とは何ぞや」「数学的に正しいとは何ぞや」と言った若干哲学的な内容を指してるのだと思います。

イメージしやすい所を言えば、公理と言うものに対する考え方等はその一つだと思います。以前は「証明する必要がないくらい明らかな事」と言った受け取り方でしたが、非ユークリッド幾何学の登場等によって「正しい事を問答無用で仮定する命題(∴直感的に正しいと思えなくても可)」と言う具合に公理に対する考え方が変わりました。

No.3 回答者： mpcsp079goo 回答日時： 2025/02/27 03:17

才能と勘以外にありませんよ！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/27 02:33

「本質」なんて、哲学的というか観念論的過ぎて、

ただ数学が好きなだけの私にはサッパリわからないけれど...

式変形なんてのは、ただの小手先の技であって、
計算や証明をする上では避けて通れない確認ではあっても
その文脈の要点とは関係ないことが少なくない。
要するに何の話をしているのか？ を見失わないようにすればいいんじゃない？

...何か数学というより国語の話題みたいになったけど、
数学も人と人が文章でやりとりするもののひとつだからね。

No.1 回答者： rera1016 回答日時： 2025/02/27 02:08

問題を解くという前に、教科書での勉強でも疑問を持たないと行けません。

それこそ「なぜ三角関数が生まれたのか」「なぜ微分と積分が考え出されたのか」というところから始めていかないと、本質を理解したとは言えません。

その辺りは、ネットでキーワード検索をやっていくことで、そうした答えを書いているページを見つけることが出来るでしょうから、それを読んでいくことで、様々な関数や解法が、世の中にある問題を解決する上で必要だという事を理解できるでしょう。