Ⅹ＾5＝1の解（1の5乗根）は複素数1＋べき乗混iの形で表せるのでしょうか？

複素平面上に半径1の円を描き角度0度から始まり72度ずつ回転させ円との交点を取れば、それがⅩ＾5＝1の解を表しますが、これの複素数は1＋べき乗混iの形で表せるのですか？

No.18 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/16 09:22

＞ ということはωのような形になるのですか？

「ωのような形」ってなんやねんな。
「代数的数」ってのは、整数係数多項式の根であるような数
という意味の言葉だから、X^5=1 の解って言ってる時点で
最初から Ｘ は代数的数に決まっている。

そんなのは言うまでもないことだが、代数的数かどうかと
その数が整数の四則演算と冪根だけを使って表せるか？や
その実部,虚部が整数の四則演算と冪根だけを使って表せるか？は
全く別の話。
5次以上の方程式の根の中には、代数的数だが
整数の四則演算と冪根だけを使って表せないものがあるというのが、
よくガロア理論と呼ばれる、アーベル・ルフィニの定理だった。

Ｎo.2 Ｎo.14 で言ったのは、
X^5=1 の解の実部,虚部は、整数の四則演算と冪根だけどころか
整数の四則演算と平方根だけを使って表せる という話。
これは、更に強い条件だ。

その表し方は、実際に方程式を解いてみることでも得られるが、
複素数平面上で単位円に内接する正五角形をユークリッド作図
することでも得られる。というか、この作図によって方程式
X^5=1 を解くことができる。 参考↓
https://www.suri-joshi.jp/enjoy/pentagon/

ちな、ガウスが幼少時に数学者になることを決めたのは、
X^17=1 の解が整数の四則演算と平方根だけを使って表せる
ことを証明して自信を得たから ってのは、数学おじが好む逸話。

X^5 = 1 の解を具体的に表示しとくと、
X = 1,
X = { -1 ± √5 }/4 ± i {√(10 - 2√5) }/4　；復号任意
の計 5 個。

この回答へのお礼

＞X^5 = 1 の解を具体的に表示しとくと、
X = 1,
X = { -1 ± √5 }/4 ± i {√(10 - 2√5) }/4

おおっ！これは素晴らしい。この具体的な答えが欲しかったのです。これってネット検索しても見つかりませんでした。ありがとうございます。

代数的数と整数係数多項式の根は同じことですね。躓いていました。

お礼日時：2024/09/16 09:29

No.17 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/16 08:52

「ωのような形」って, どんな形?

この回答へのお礼

ω＝（₋1+√３i）/２
のような形です。

お礼日時：2024/09/16 09:10

No.16 回答者： finalbento 回答日時： 2024/09/15 22:03

他の方へのお礼コメントにあった「(五次方程式の)5つの解とも複素数の形で表せるのか」と言う質問に対してですが、回答にも少し書いたように「n次方程式は複素数の範囲でn個の解を持つ」と言う事が証明されています(代数学の基本定理)。

なので五次方程式の五つの解も当然複素数で表せる事になります。

この回答へのお礼

なるほど。ωのような形になりますか？

お礼日時：2024/09/16 08:24

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/15 21:18

e^{2πi/5}は超越数ではありません.代数的数です

x^5-1=0
の
解
1
e^{2πi/5}
e^{4πi/5}
e^{6πi/5}
e^{8πi/5}
はすべて代数的数です

この回答へのお礼

eが超越数なのに面白いですね。

お礼日時：2024/09/16 08:25

No.14 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/15 21:05

←No.2 補足

＞ 要は、5つの解とも複素数の形で表せるのか？ということです。

解は、正五角形の頂点だって言っているでしょう？
正五角形は、定規とコンパスだけを使って作図できる図形です。
ということは、その頂点の座標は、冪根どころか
加減乗除と平方根だけを使って算出できる値です。

この回答へのお礼

ということはωのような形になるのですか？

お礼日時：2024/09/16 08:25

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/15 20:38

>sine72°自体がすでに超越数

sin(απ)でαが有理数だと代数的数

この回答へのお礼

72はαπの形に表せるのですか？

お礼日時：2024/09/16 08:27

No.12 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/15 17:24

下のベストアンサーじゃないかなぁ？

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

この回答へのお礼

計算方法だけじゃなくて答えまで書いて欲しいですね。

お礼日時：2024/09/16 08:29

No.11 回答者： finalbento 回答日時： 2024/09/15 17:10

お礼コメントに対してですが、先に書いたように②の形の複素数は①の形に書き直せます。

なので「①の形では表せません」と言う事はありません。

この回答へのお礼

ωのような形になりますか？

お礼日時：2024/09/16 08:29

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/15 17:01

x^5=1

の
解1はe^{2πi/5}の5乗
1=(e^{2πi/5})^5
解e^{2πi/5}はe^{2πi/5}の1乗
e^{2πi/5}=(e^{2πi/5})^1
解e^{4πi/5}はe^{2πi/5}の2乗
e^{4πi/5}=(e^{2πi/5})^2
解e^{6πi/5}はe^{2πi/5}の3乗
e^{6πi/5}=(e^{2πi/5})^3
解e^{8πi/5}はe^{2πi/5}の4乗
e^{8πi/5}=(e^{2πi/5})^4
と
e^{2πi/5}のべき乗の形で表せます

この回答へのお礼

ωのような形では表せないのでしょうか？

お礼日時：2024/09/16 08:30

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/15 16:56

sin 72° は代数的数だよ.

sine72° はしらんけど.

この回答へのお礼

そうですね。方程式の解ですから。

お礼日時：2024/09/16 08:30