y''+y=1/cos(x)の特殊解の解法を求む

答えは
　y=cos(x)log(cos(x))+xsin(x)
です。

もうおわかれですね。ひさしぶりに、OKwave をみたら、しんみりしているうえに、ここにいたヤラカシマスターが VV しているようです。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/21 09:31

脱線ですが、 dy/dx = 1　⇒　y = log｜x｜ + C の絶対値について。

y = log x と y = log(-x) は初期条件の違う解なので、
まとめて log｜x｜ と書くのは勘違いや誤解のもとです。
x > 0 と x < 0 の両方を含んで y = log｜x｜ という解があるわけではありません。
y = log(±x) のほうが安全だと思います。
この ± は、C が任意定数であるのと同様に
任意の + または - という意味です。

その意味では、No.2 の解は
y = x sin x + (cos x) log(±cos x) + A sin x + B cos x.
と書くべきだったかな。これが一般解です。

「特殊解」であることに拘るなら。
± の一方を好みで選択し、A と B に何か好きな数を代入してください。
選び方は、何でも好きでよいです。

この回答へのお礼

お礼を書いたと思ったのですが、アップされてませんでした。
不安にさせて申し訳なかったです。

いやぁ、目からうろこです。

なお、議論してもしょうがないので、log|x|で十分と思います。

お礼日時：2025/04/22 15:10

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/04/20 23:26

「特殊解の解法」ってなんだろう.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/20 19:14

y'' + y = 1/(cos x) の分母を払うと、

y'' (cos x) + y (cos x) = 1.

積の微分法にある程度慣れていれば、これが
{ y'' (cos x) - y' (sin x) } + { y' (sin x) + y (cos x) } = 1
に見えてこないだろうか。
この式を x で積分すると、
y' (cos x) + y (sin x) = x + A.　；Aは定数

商の微分法を利用するために、一旦
{ y' (cos x) - y (- sin x) }/(cos x)^2 = (x + A)/(cos x)^2
と変形してから x で積分すると、右辺は部分積分して
y/(cos x) = (x + A) (tan x) - ∫(tan x)dx
　　　　= (x + A) (tan x) + ∫(-sin x)/(cos x) dx
　　　　= (x + A) (tan x) + log(cos x) + B　；Bは定数

よって、
y = (x + A) (sin x) + (cos x) log(cos x) + B (cos x).

この回答へのお礼

素晴らしいです。

お礼日時：2025/04/21 09:46

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2025/04/20 18:49

具体的な計算はしていませんが、

y''+y=0の一般解をy=Acos(x)+Bsin(x)として、定数変化法を適用すれば、お書きの解が出てきそうではあるかな。

実関数の範囲で考えるのならlogの中身は絶対値が付きそうな気もしていますが。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0 …

この回答へのお礼

ありがとうございます。
にがてな方向で検算する気になれません。申し訳ないです。

絶対値は必要でしたね。

お礼日時：2025/04/20 19:27