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線形なグラフとはひとくちに言って一次関数のグラフであっていますか?
教えてください。

A 回答 (2件)

あまり回答が付きませんね。



正確にいうと「あっていない」、だが一般的な言い方であれば「合っている」という中途半端な内容だからでしょうね。

#1 さんの書かれているように、正確には、
 f(a + b) = f(a) + f(b) (加法性)
 f(ax) = af(x) (斉次性)
が成り立たないと「線形」と言いません。
これが「線形性」の定義です。


https://qiita.com/te20/items/e91faee8f9eb9b1a869c
https://manabitimes.jp/math/684

具体的には、一次関数のうち「原点」を通る
 f(x) = kx
が「線形」ということになります。
定義を満足するかやってみれば
・f(a + b) = k(a + b) = ka + kb =f(a) + f(b)
・f(ax) = kax = a(kx) = af(x)
ですから。

ここに
 f(x) = px + q
を持ってくると
・f(a + b) = p(a + b) + q = pa + pb + q
     = (pa + q) + (pb + q) - q
     = f(a) + f(b) - q
・f(ax) = p(ax) + q = a(px + q) - aq + q
   = af(x) + q(a - 1)
となって、q≠0 だと「線形」の定義を満足しません。

なので、質問者さんのいう「一次関数のグラフ」というのは正確には「合っていません」ということになります。

ただし、一般論としては「直線関係にあるもの」を「線形である、リニアである」ということが多いです。
なので、一般論としては、必ずしも原点を通らなくとも、「一次関数のグラフ」を「線形」ということが多いです。

まあ、定義を明確にして論理的に議論をするか、一般論・通称というアバウトな議論をするかによって、見解が変わるということです。
なので、あまり回答が付かないのだと思います。
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1次関数と云うか、グラフにすると 原点を通る直線になります。


任意の x, y について f(x+y)=f(x)+f(y) であり、
任意の a, x について f(ax)=af(x) が成り立つことです。
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