対数

乗数を求める事が、どうしてそんなに大事なのですか。

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/01 09:33

一例ですが、

例えば y　と x が反比例の関係にある時
y = a(1/x) は図にするとぐにゃっとした曲線になります。
ところが

logy = loga - logx
として
logy = Y, logx = X
とすると
Y = loga - X
YとXの図は右下方向４５度の直線になるので、
反比例の関係が図から明瞭に分かります。

同じようなことが 対数で 図を描くといろいろわかるので
x と y の数学的関係を探るのに 対数で描かれた図が
使われることがあります。

電気工学だとボーデ線図とかが有名。

これはほんの一例。対数は数学の基礎の一つなので
応用はいろいろあります。

微分方程式の解として e^(kx) という形を含む解が
頻繁にあらわれたりするのも、対数が重要な理由です。
減衰係数や周波数と対数が密接な関係にあることを
知ると、対数は無くてはならないものであることが分かります。

No.6 回答者： e12mv2 回答日時： 2024/10/01 20:32

自然界は対数を好む。

たとえば地震の規模を示すマグニチュード。
人間の感覚ではマグニチュードが１進むごとに被害規模が１段階大きくなるように感じる。
しかし地震の規模をマグニチュードから実数値になおすと１段階どころではなくなる。
マグニチュードが０．１大きくなると規模は１．４倍になる。
マグニチュードが１大きくなると規模は３２倍になる。
マグニチュードが２大きくなると規模は実数地で１０００倍である。
東日本大震災の規模は関東大震災の規模の約１０００倍であり元日の能登地震の規模の２０００倍超である。

自然現象の規模と人間の感覚の橋渡しをしているのが、対数で表記されるマグニチュードである。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/10/01 01:26

現代でも重宝される理由、それは微分を楽にする便法だからです。

例えば、尤度という値があります。これは同時確率なんですが、確率密度関数の「積」で表されます。

最尤推定という、平均を求めたりする手順があるんですが、尤度を微分して０と置いて解けば極値が求まりますから、そうしたいのですが、関数の積なので、面倒極まりません。

そこで対数尤度という値を用います。

対数を取ると、関数の積が「和」に代わります。微分が楽になります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/30 22:30

計算機のある現代では、数値は二進変換してデジタルで計算するが、

紙と鉛筆しかなかった時代には、数値は対数変換して計算尺で計算していた。
道具に合わせた数の内部表現の結果だよ。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/30 22:20

「乗数を求める」標準的な方法は, たぶん割り算だと思う. まあ割り算も面倒くさいので対数を使って処理するかもしれんけど.

さておき, つい 100年くらい前までは「計算」といえば「人間が紙とペンでする」ものだったわけだ. そんな状況で「乗除算をいっぱいやれ」なんていわれたら (言語によっては) 発狂してしまうのだよ. それを, 「加減算で済ませられる」って世界に変えてくれたのが「対数」なのだ.

なお四昔くらい前だと技術者には「計算尺」も必需品だったかもしれん.

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/09/30 22:10

今のように電卓がなかった時代、

桁数の多い乗除算は、対数換算して加減算で行っていました。
なので、技術者の多くは、対数表と言う冊子を必ず持っていたものです。

その他、桁数が大きくて扱いづらい数値の場合、
対数換算すれば、桁数が遥かに小さくなって扱いやすくなります。
例えば、音量のデシベルや地震エネルギーのマグニチュードなどです。