なぜ分子が1になるんですかこれ？あと、なぜ答えが0なんですか？ 数学数学

なぜ分子が1になるんですかこれ？あと、なぜ答えが0なんですか？

数学数学

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/10/03 12:00

分子=(√ x^2 +1 )^2 - x^2= x^2 +1 -x^2 = 1

lim x→∞　√ x^2 +1 =　∞
lim x→∞　x =∞
∴　lim x→∞　１/(∞+∞)=lim x→∞　１/∞ =0
極限の基本の基本　なので　教科書を復習しましょう

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/03 08:53

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

a = √(x^2+1), b = x とすると
limの中の分数の式の分子=a^2 - b^2 = x^2+1 - x^2 = 1

答えがゼロの理由はlimの中の分数の式の
分子が1に分母が無限大になるから

limA/B で A が有限な範囲内、Bが∞又は-∞ なら limA/B=0

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/03 08:48

もとの問題は、 lim[x→∞] √(x^2 + 1) - x だったんだろうなあ。

例によっていつもの、「分子の有理化」ってやつです。
A - B を分数 (A - B)/1 と見て、分子分母に同数 A + B を掛ければ
A - B = (A - B)/1 = (A - B)(A + B)/(A + B) = (A^2 - B^2)/(A + B)
になります。分子の展開は、和と差の積の公式を使ってもいいし、
単に括弧を分配法則で開いても同じ式が出てきます。 よって
√(x^2 + 1) - x = (√(x^2 + 1)^2 - x^2)/(√(x^2 + 1) + x)
= (x^2 + 1 - x^2)/(√(x^2 + 1) + x) = 1/(√(x^2 + 1) + x) です。

lim[x→∞] 1/(√(x^2 + 1) + x) = 0 になるのは、
x → ∞ のとき分母が √(x^2 + 1) + x → ∞ だからです。

No.3 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/10/03 08:42

1/♾️は0だからです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/03 08:42

画像の通り

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2024/10/03 07:25

分子を普通に展開します。

(a-b)(a+b)=a²-b²から、(x²+1)-x²=1になります。