写真の問題の解説にある「a≦bとしても一般性を失わない」というのは「aとbを入れ替えても全く同じ式で

写真の問題の解説にある「a≦bとしても一般性を失わない」というのは「aとbを入れ替えても全く同じ式である」と同値ですか？それとも今回の場合は同値であるだけですか？「一般性を失わない」という記述を習得したいので詳しく教えて欲しいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/11 08:09

「a≦bとしても一般性を失わない」というのは...

a と b を入れ替えても問題の意味が変わらないようになっているため、
a≦b という条件を付け足して解いても、得られた解の a, b を入れ替えれば
b≦a となる解も得られて、結局全ての解が求まる
...という意味です。対称性のある式や問題を扱うとき頻出の言い廻しです。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/11 17:07

これは

ある式が有って

①式のaとbを入れ替えても式は変化しない
②式のaと b を a≦b と仮定して解いて良い

で ①→②が成り立つということだとい思いますが
②→①は簡単に導けそうにないな～

①→②が成り立てば問題は解けるから
同値である必要はないと思う。

>それとも今回の場合は同値である
意味がわかんないです。今回じゃないのはどういう場合？

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2024/11/11 14:17

Xとしても一般性を失わない、の意味は、

Xの場合について（だけ）考えれば十分である、
ということです。

この場合は、a>bの場合はa,bを入れ替えれば式の値は変わらず、しかもa<bの場合になるから、といった意味です。この程度のことは簡単に（≒ちょっと考えれば）わかるよね、というニュアンスがあります。

この回答へのお礼

皆様ありがとうございました。お陰で理解することが出来ました。

お礼日時：2024/11/17 16:08

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2024/11/10 22:22

a+b=b+a , a^p +b^p=b^p + a^p

であり　対称性があるので　a,b の大小関係を勝手にきめてもいいと言う意味において　a<=b としても一般性を失わない　という表現にしているのでしょう

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2024/11/10 14:38

これは技術ではなくて「一般性を失わない」とはどう言う意味かと言う国語の問題です。

要は「一般性とはどう言う意味か」と言う事ですし。

例えば命題Pが実数全体について成り立つとすると、このPは「実数について一般的に成り立つ」すなわち「実数についての一般性がある」と言った意味になります。そしてもしもPに条件qを加えてもやはり実数全体について成り立つとしたら「条件qを加えても一般性を失わない」と言う事になります。

質問文の問題で言えば【解答】にある条件を加えたとしても答えは加えなかった時と全く同じなのでこの条件を加えて分かりやすくしましょう、と言った事になります。