AB=2dとなる理由を教えてください

「aを定数とする。２次関数ｙ＝ｘ^2+(4a+6)+3a+4のグラフをC、その頂点をPをする。Pの座標は
(□a-□、□a^2-□a-□)
である。
⑴　Cがｘ軸と異なる２点A,Bと交わるのは
a<□/□、□<a
のときである。
このときＡＢ>2√14となるようなaの値の範囲は
a<□、□/□<a
であり、△ＡＢＰが正三角形となるaの値は
a=□、□/□
である。」
この問題の正三角形についての解説にて、「ｄ＝√(4a^2+9a+5)とおくと、AB＝2ｄ、Ｐ(-2a-3,-d^2)である。～」と記載があるのですが、なぜAB＝2ｄになるのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 

  図形からは気が付きませんでした。この部分以外は答え合っています。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/08/28 22:50

• 誘導に乗らずに遠回りにABを出してしまったので気づかなかったようです。

    補足日時：2023/08/28 22:59

• ２次関数ｙ＝ｘ^2+(4a+6)ｘ+3a+4です。
  申し訳ございません。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/08/30 17:19

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/30 05:34

図の通り

この回答へのお礼

図は見当たりませんが、回答ありがとうございました。

お礼日時：2023/08/30 17:27

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/08/30 10:03

>２次関数ｙ＝ｘ^2+(4a+6)+3a+4

これじゃ Pのx座標は 0

写し間違えてるよね？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/28 23:24

y = x^2 + (4a + 6)x + 3a + 4　　　←多分「ｘ」が抜けていますね？

　= x^2 + 2(2a + 3)x + 3a + 4
　= [x^2 + 2(2a + 3)x + (2a + 3)^2] - (2a + 3)^2 + 3a + 4
　= [x + (2a + 3)]^2 - 4a^2 - 12a - 9 + 3a + 4
　= [x + (2a + 3)]^2 - 4a^2 - 9a - 5　　　　①

よって、頂点の座標は
　(-(2a + 3), -4a^2 - 9a - 5)
= (-2a - 3, -4a^2 - 9a - 5)

(1) ｘ軸つまり y=0 との交点は
　x^2 + (4a + 6)x + 3a + 4 = 0　　　　②
の解（実数解）ということは分かりますか？
②が実数解をもつ条件は、判別式より
　D/4 = (2a + 3)^2 - (3a + 4)
　　　= 4a^2 + 12a + 9 - 3a - 4
　　　= 4a^2 + 9a + 5
　　　= (4a + 5)(a + 1) ≧ 0
より
　a ≦ -5/4, -1 ≦ a

そのときの②の解は、一般解の公式より
　x = -(2a + 3) ± √[(2a + 3)^2 - (3a + 4)]
= -2a - 3 ± √(4a^2 + 9a + 5)　　　　　　　　③

問題文の書き方があいまいですが「AB」とは「A の x 座標 かける A の x 座標」ではなくて、「AB 間の距離」「線分AB の長さ」ということですね？
ということは
　AB = [-2a - 3 + √(4a^2 + 9a + 5)] - [-2a - 3 - √(4a^2 + 9a + 5)]
　　= 2√(4a^2 + 9a + 5)

つまり、√(4a^2 + 9a + 5) = d とおけば
　AB = 2d
です。
③の一般解から明らかですよ？

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2023/08/30 17:26

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/08/28 22:43

計算してみた?

「判別式」って知ってる?