「aを定数とする。2次関数y=x^2+(4a+6)+3a+4のグラフをC、その頂点をPをする。Pの座標は
(□a-□、□a^2-□a-□)
である。
⑴ Cがx軸と異なる2点A,Bと交わるのは
a<□/□、□<a
のときである。
このときAB>2√14となるようなaの値の範囲は
a<□、□/□<a
であり、△ABPが正三角形となるaの値は
a=□、□/□
である。」
この問題の正三角形についての解説にて、「d=√(4a^2+9a+5)とおくと、AB=2d、P(-2a-3,-d^2)である。~」と記載があるのですが、なぜAB=2dになるのでしょうか。
No.2
- 回答日時:
y = x^2 + (4a + 6)x + 3a + 4 ←多分「x」が抜けていますね?
= x^2 + 2(2a + 3)x + 3a + 4
= [x^2 + 2(2a + 3)x + (2a + 3)^2] - (2a + 3)^2 + 3a + 4
= [x + (2a + 3)]^2 - 4a^2 - 12a - 9 + 3a + 4
= [x + (2a + 3)]^2 - 4a^2 - 9a - 5 ①
よって、頂点の座標は
(-(2a + 3), -4a^2 - 9a - 5)
= (-2a - 3, -4a^2 - 9a - 5)
(1) x軸つまり y=0 との交点は
x^2 + (4a + 6)x + 3a + 4 = 0 ②
の解(実数解)ということは分かりますか?
②が実数解をもつ条件は、判別式より
D/4 = (2a + 3)^2 - (3a + 4)
= 4a^2 + 12a + 9 - 3a - 4
= 4a^2 + 9a + 5
= (4a + 5)(a + 1) ≧ 0
より
a ≦ -5/4, -1 ≦ a
そのときの②の解は、一般解の公式より
x = -(2a + 3) ± √[(2a + 3)^2 - (3a + 4)]
= -2a - 3 ± √(4a^2 + 9a + 5) ③
問題文の書き方があいまいですが「AB」とは「A の x 座標 かける A の x 座標」ではなくて、「AB 間の距離」「線分AB の長さ」ということですね?
ということは
AB = [-2a - 3 + √(4a^2 + 9a + 5)] - [-2a - 3 - √(4a^2 + 9a + 5)]
= 2√(4a^2 + 9a + 5)
つまり、√(4a^2 + 9a + 5) = d とおけば
AB = 2d
です。
③の一般解から明らかですよ?
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