数学のご質問

2次関数y=x^2-2ax+b+5……I（a、bは定数であり、a＞0）のグラフが点（-2、16）を通っている。

（１）関数Iのグラフがx軸と接するとき、aの値を求めよ。
（２）（１）の時、0≦x≦k（kは正の定数）における最大値と最小値の我が5となるようなkの値を求めよ。

わからなくて、困っています。お願いします。

No.4 回答者： yoshi0g3 回答日時： 2013/03/29 00:35

先程自分の回答の間違いに気付きました

失礼しました

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2013/03/29 00:11

y = x^2 - 2ax + b + 5 が(-2, 16)を通るので、

16 = 4 + 4a + b + 5 = 4a + b + 9
b = -4a + 7
y = x^2 - 2ax - 4a + 12
x軸と接するので、y = 0とおいた2次方程式が重解を持つ。判別式 = 0
D/4 = a^2 + 4a - 12 = 0
(a + 6)(a - 2) = 0
a > 0であるから、a = 2

y = x^2 - 4x + 4
= (x - 2)^2
このグラフは、x = 2のとき最小値0で、(0, 4)を通る。
i)0 ≦ k < 2のとき
最大値はx = 0のときの4
最小値 = 1になればよい。
x^2 - 4x + 4 = 1
x^2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
0以上2未満の範囲で考えているから、3は不適。
∴k = 1

ii)k ≧ 2のとき、
最小値はx = 2のときの0
最大値 = 5になればよい。
x^2 - 4x + 4 = 5
x^2 - 4x - 1 = 0
x = 2 ± √(4 + 1) = 2 ± √5
2以上の範囲で考えているから、2 - √5は不適。
∴k = 2 + √5

No.2 回答者： yoshi0g3 回答日時： 2013/03/29 00:02

(1)グラフが(-2,16)を通るので、

16=4+4a+b+5 <=> b=-4a+7
よって
(与式) <=> y=x^2-2ax-4a+12
=(x-a)^2-a^2-4a+12
このグラフがx軸と接するための条件は
(頂点のy座標)=0
<=> -a^2-4a+12=0
<=>(a+6)(a-2)=0
a>0より、a=2

(2)(1)のとき、
(与式) <=> y=x^2-4x+4=(x-2)^2
ここで、x=0のとき、y=4であるから、0≦x≦kにおける最小値が1であれば題意を満たす。このようなkを求めると、
k^2-4k+4=1 <=> (k-3)(k-1)=0
ここで、k=3のとき、最小値は頂点のy座標、すなわち0となり題意を満たさない。よってk=1

あとでちゃんと自分で解きなおしてくださいね^ ^

No.1 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/03/28 23:22

（１）二次関数のグラフがx軸と接するということは頂点のy座標がどうなればいいのか考えましょう。

また通過点が1つ分かっていますのでa,bについての連立方程式となるはずです。
（２）（１）が解けたらグラフの概形が描けますので道は開けるでしょう。