線形代数の三重積分についての問題がわからないです。

線形代数についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。
３重積分 z dxdydz (D:x>=0, y>=0, z>=0, x^2+y^2+z^2<=a^2)
自分で解いてみようとしたのですが、結果０になってしまいおそらく間違いだと思います。以下のようにして変形して行いました。
x=r*sina *cosb
y = r*sina*sinb
z = r*cosa

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/17 16:11

間違いを亡くすため、一般的な気泡を使う。

　x=rsinθcosφ
　y=rsinθsinφ
　z=rcosθ

積分範囲は
　r=0～a , θ=0～π/2 , φ=0～π/2

ヤコビアン
　J=r²sinθ

　∫zdxdydz=∫[0,a]dr∫[0,π/2]dθ∫[0,π/2]dφ r³sinθcosθ
　=∫[0,a] r³dr・∫[0,π/2]dφ・∫[0,π/2] sinθcosθdθ
　=[r⁴/4][a,0] ・π/2・[(1/4)(-cos2θ)][π/2,0]
　=a⁴/4・π/2・(1/4)・(-(-1)+1)=πa⁴/16