線形代数についての問題がわからないです。

線形代数についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。
B=A^n とし、Bのi行、j列成分をBijとするとき、B33を求めてください。行列A=
(1/6 1/3 1/2)
(0 1/6 -1/2)
(0 -1/2 1/6)

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/08 21:38

A

=
(1/6,1/3,1/2)
(0.,1/6,-1/2)
(0.,-1/2,1/6)

|1/6-t,1/3,1/2|
|0.,1/6-t,-1/2|
|0.,-1/2,1/6-t|
=
(1/6-t){(1/6-t)(1/6-t)-1/4}
=
(1/6-t){t^2-t/3-2/9}
=
(1/6-t)(9t^2-3t-2)/9
=
(1/6-t)(3t+1)(3t-2)/9=0

Aの固有値は
t=1/6
t=-1/3
t=2/3

固有値1/6に対する固有ベクトルは(1;0;0)
固有値-1/3に対する固有ベクトルは(-5;3;3)
固有値2/3に対する固有ベクトルは(1;-3;3)

P
=
(1,-5,1)
(0,3,-3)
(0,3.,3)

P^(-1)
=
(1,1...,2/3)
(0,1/6.,1/6)
(0,-1/6,1/6)

H
=
(1/6,0...,0)
(0..,-1/3,0)
(0..,0.,2/3)

とすると

P^(-1)AP=H
A=PHP^(-1)

B
=A^n
=PH^nP^(-1)
=
(1,-5,1)(1/6^n,0..,0.)(1,1...,2/3)
(0,3,-3)(0,(-1/3)^n,0)(0,1/6.,1/6)
(0,3.,3)(0,0.,(2/3)^n)(0,-1/6,1/6)
=
(1/6^n,5/3^n,(2/3)^n..)(1,1...,2/3)
(0,3(-1/3)^n,-3(2/3)^n)(0,1/6.,1/6)
(0,3(-1/3)^n,3(2/3)^n)(0,-1/6,1/6)
=
(1/6^n,1/6^n+5/6/3^n-(2/3)^n,2/3/6^n+5/6/3^n+(2/3)^n/6)
(0,(-1/3)^n/2+(2/3)^n/2,(-1/3)^n/2-(2/3)^n/2)
(0,(-1/3)^n/2-(2/3)^n/2,(-1/3)^n/2+(2/3)^n/2)

∴
B33={(2/3)^n+(-1/3)^n}/2

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/08 19:00

これ、解るとか解らないとかいう問題じゃなく

作業するだけでしょ。
v = (0 0 1) と置いて
B33 = v B (転置 v) = v A^3 (転置 v) = (v A) A (A (転置 v))
となるから、A^3 を計算するよりも
v A と A (転置 v) を計算して上の式に持ち込んだほうが
計算の手間は少ないかと思う。
B33 = ( (v A) A )(A (転置 v)) = -1/18.