AとBは同じサイズの正方行列とする。A+BとA-Bが正則行列なら （A B B A）は正則行列である

AとBは同じサイズの正方行列とする。A+BとA-Bが正則行列なら
（A B
B A）は正則行列であることを示せ。

教えてください。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/29 15:08

①から⑤の式は行列が見にくいので、図に表示した。

AとBはn次の正方行列とする。Eはn次の単位行列とする。
Oはn次の0行列とする。①
（E　－E　は2n次の正方行列である。
　O　　E）
（A　B　は2n次の正方行列である。
　B　A）
（E　E　は2n次の正方行列である。
　O　E）
この三つの2n次の正方行列をこの順にかけると
（E　－E　（A　B　（E　E　　＿①
　O　　E）　B　A）　O　E）
=(A－B　B－A　 (E　E　
　　B　　　A　) O　E）
=(A－B　 O　
　　B　　A+B)
この式の行列式を計算する。
右上または左下に0行列がある行列の行列式は、
対角要素のn次行列の行列式の積となるので
①の１行目の二つの2n次行列の行列式は1となる。
det（E　－E　=detE×detE=1＿②
　　 O　　E）
det（E　E　=detE×detE=1＿③
　　 O　E）
①の3行目の2n次行列の行列式はdet(A－B)×det(A+B)となる。
det(A－B　 O　= det(A－B)×det(A+B)＿④
　　 B　　A+B)
ゆえに、式①の行列式は⑤となる。
det( A　B　= det(A－B)×det(A+B)＿⑤
　　B　A）
A+BとA-Bが正則行列なら、右辺は0でない。よって
左辺の行列式は0でないから
（A B
　B A）は正則行列である。
同じ質問に答えたことがある。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/28 14:08

成分計算のほうを書いてみようかな。

A,B を n次正方とする。
T =
　　A　　B
　　B　　A
に対して、
第 j 列(j=1,2,..,n)から第 j+n 列を引く、
第 i 行(i=1,2,..,n)を第 i+n 行に足す
という操作を行うと
U =
　　A-B　B
　　O　　A+B
という行列へ変形される。
この変形で行列式の値は変わらない。
detT = detU.

U の i 行 j 列成分を u(i,j) と書こう。
行列式の成分表示は
detU = Σ[2n次の置換σについて](sgn σ)Π[i=1..2n]u(i,σ(i))
と書けるが、i≧n, j<n のとき u(i,j) = 0 であるから、
Σは、i≧n のとき σ(i)≧n (したがって i<n のとき σ(i)<n )
であるような σ のみについての和でよい。
そのような σ は、{ 1,2,...,n } へ作用する n 次の置換 σ1 と
{ n+1,n+2,...,2n } へ作用する n 次の置換 σ2 の積で表される。
detU = Σ(sgn σ)Π[i=1..2n]u(i,σ(i))
= Σ(sgn σ1σ2)Π[i=1..n]u(i,σ(i))・Π[i=n+1..n]u(i,σ(i))
= Σ(sgn σ1)(sgn σ2)Π[i=1..n]u(i,σ1(i))・Π[i=n+1..n]u(i,σ2(i))
= Σ(sgn σ1)Π[i=1..n]u(i,σ1(i))・Σ(sgn σ2)Π[i=n+1..n]u(i,σ2(i))
となるが、式中の各Σは
det(A-B) = Σ(sgn σ1)Π[i=1..n]u(i,σ1(i)),
det(A+B) = Σ(sgn σ2)Π[i=n+1..n]u(i,σ2(i))
の成分表示になっている。

以上より、
detT = det(A-B)det(A+B).

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/05/27 18:45

A B

B A
の逆行列が
P Q
R S
だったとすると、
　　AP + BQ = I
　　AR + BS = 0
　　BP + AQ = 0
　　BR + AS = I
だから、これらの和や差を作ると
　　(A+B)(P+Q)=I
　　(A-B)(P-Q)=I
　　(A+B)(R+S)=I
　　(A-B)(R-S)=I
つまり、
　　(P+Q) = (R+S) = (A+B)^(-1)
　　(P-Q) = (R-S) = (A-B)^(-1)　　
ということ。あとはつるかめ算でP,Q, R,S が決まる。