微分の問題

f(x)= x^2 sin π/x^2

これを微分すると、f (x)'= 2x sinπ/x^2 - 2π/x cosπ/x^2 となるのですが、これを導く過程を教えてください。

それから、このf(x)' に、1/√n を代入すると、
f(1/√n)'= 2/√n sin nπ-2π√n cos　nπ= (-1)^n+1・2π√n となるのですが、これを導く過程もよろしければ、教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/02/08 11:41

積の微分法を用いて計算します．

f(x)＝ x^2 sin(π/x^2)

に対して，

u＝ x^2
v＝ sin(π/x^2)

とおくと，f(x)＝ x^2 sin(π/x^2)
は，

f(x)＝ uv

となります．これを微分すると，

f'(x)＝ u'v ＋ uv'

です． u' と v' は，

u'＝ 2x

v'＝(π/x^2)'cos(π/x^2)＝π(－2x/x^4)cos(π/x^2)＝－(2π/x^3)cos(π/x^2)

v'＝－(2π/x^3)cos(π/x^2)

故に，f'(x)＝ u'v ＋ uv' は，

f'(x)＝u'v＋uv'＝[2x][sin(π/x^2)]＋[x^2][－(2π/x^3)cos(π/x^2)]

f'(x)＝2x sin(π/x^2) －(2π/x)cos(π/x^2)

となります．

f'(x) に，x＝1/√n を代入すれば，


f'(1/√n)＝2(1/√n) sin(π/(1/√n)^2) －(2π/(1/√n))cos(π/(1/√n)^2)

f'(1/√n)＝(2/√n) sin(π/(1/n)) －(2π/(1/√n))cos(π/(1/n))

f'(1/√n)＝(2/√n) sin(nπ) －(2π√n)cos(nπ)

n＝0，1，2，3，4，5,・・・

ならば，

sin(nπ)＝0

cos(nπ)＝ －1，（ 奇数：　n＝1，3，5，7，・・・）

cos(nπ)＝ 1，（ 偶数：　n＝0，2，4，6，8，・・・）

なので，

cos(nπ)＝(－1)^n

と書くことが出来ます．したがって，

f'(1/√n)＝(2/√n) sin(nπ) －(2π√n)cos(nπ)

は，

f'(1/√n)＝(2/√n)・0 －(2π√n)・(－1)^n

f'(1/√n)＝ －(2π√n)・(－1)^n

f'(1/√n)＝ (－1)・(2π√n)・(－1)^n

f'(1/√n)＝ (－1)^(n＋1)・(2π√n)

となります．

この回答へのお礼

完璧に理解することができました。
特に、sin(nπ)＝0

cos(nπ)＝ －1，（ 奇数：　n＝1，3，5，7，・・・）

cos(nπ)＝ 1，（ 偶数：　n＝0，2，4，6，8，・・・）

の所は理解できてすっきりしました。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/08 13:42

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/08 11:33

こう言った所で活字で一行書きするときはカッコで分数の範囲や関数の引数の範囲や

べき乗の指数部の範囲を
括って正しい式が伝わるように書いて下さい。
微分の「'」を書く位置に注意！

f(x)= (x^2)*sin(π/x^2)
積の微分公式より
f'(x)=(x^2)'*sin(π/x^2)+(x^2)*(sin(π/x^2))'
合成関数の微分公式より
=2x*sin(π/x^2)+(x^2)*(cos(π/x^2))*(πx^(-2))'
=2x*sin(π/x^2)+(x^2)*(cos(π/x^2))*(-2πx^(-3))
=2x*sin(π/x^2)-2π(x^(-1))*cos(π/x^2)
=2x*sin(π/x^2)-(2π/x)*cos(π/x^2)

x=1/√n, 1/x=√n, 1/x^2=n を代入して
f'(1/√n)=(2/√n)sin(πn)-(2π√n)*cos(πn)

公式sin(πn)=0, cos(πn)=(-1)^n より

=(2/√n)*0-(2π√n)*(-1)^n
=-((-1)^n)*(2π√n)
=((-1)^(n+1))*2π√n

(注)
　cos(πn)=(-1)^n　は
nが偶数のとき 1 ,奇数のとき　-1 となります。

この回答へのお礼

'の位置や、カッコの範囲を分かりにくく書いてしまいすみませんでした。
分かりやすい回答をありがとうございました。

お礼日時：2012/02/08 13:40