No.2ベストアンサー
- 回答日時:
kapranさんは、
∫(sin(nθ))dθ
が幾らになるのか、「公式」として憶えていらっしゃる。ならば、置換積分するまでもなくその公式を使う。
ところがstomachmanは
∫(sin(nθ))dθ
が幾らになるか、なんて全く記憶にございません。しかし
∫(sinθ)dθ = cosθ + C
なら知ってます。
こういう人は、置換積分をやります。やってみて
∫(sin(nθ))dθ = (cos(nθ))/n + C
という答を出す。これは「置換積分を使って、一つの公式を導いた」ということです。このように毎回、公式を導き直す。憶えられないからね。
単にそれだけの違いです。だからこの場合、置換積分を使うかどうかは、
「判断する」ような事じゃない。単に
・「公式として憶えている」→ 公式を当てはめるだけ
・「憶えてない」→置換積分でも部分積分でもフーリエ変換でも、何でも使って頑張って公式を導き直す
ということに過ぎません。
同じ計算をやっても、岩波の数学公式集を丸暗記できる記憶力の持ち主にとっては、置換積分を使う機会はstomachmanよりずっと少ないということですね。
No.3
- 回答日時:
>置換するか、しないかを判断するポイントとかはありますでしょうか?
これだけはもう勉強して覚えるしかないんですね。
この問題もはじめは置換積分をしました。
ですが、後から与えられた質問をよく見てみると、
sin2θと書かれていたので、
空っぽの脳みそをフル回転させて考えてみたら、
あ、倍角の公式じゃん
ってな感じだったのです。
ですので、自分がやりやすい方法でいいと思います。
下手にどっちでやろうかなんて考えてたら
考えるだけに時間を無駄に費やしてしまいますからね。
まぁ、僕の場合は三角関数が出てきたらはじめに置換積分
やってしまいますが・・・・(^_^)
なるほど。。。
倍角の公式を使うことも、必須ではないのですね。
sinθを、tと置く方法もありました。
やはり、なれる必要があると言うことですね。
ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
π/2
∫(sinθ・cosθ)dθ
0
f=sinθ、g'=cosθとすると
f'=cosθ、g=sinθとなります。
ここで、
∫(f×g')=[f×g]-∫(f'×g)
という公式を用いると、
π/2 π/2 π/2
∫(sinθcosθ)dθ =[sin^2(θ)] - ∫(sinθcosθ)dθ
0 0 0
となり、よって、
π/2 π/2
2∫(sinθcosθ)dθ =[sin^2(θ)]
0 0
となり、
π/2 π/2
∫(sinθcosθ)dθ =1/2[sin^2(θ)]
0 0
となります。
あとは左辺を解いて
π/2
∫(sinθcosθ)dθ =1/2
0
となります。又は、
f'=sinθ、g=cosθとすると
f=-cosθ、g'=-sinθとなり、
π/2 π/2 π/2
∫(sinθcosθ)dθ =[cos^2(θ)] - ∫(sinθcosθ)dθ
0 0 0
となり、
π/2 π/2
2∫(sinθcosθ)dθ =[cos^2(θ)]
0 0
となり、
π/2 π/2
∫(sinθcosθ)dθ =1/2[cos^2(θ)]
0 0
となります。
そして、これもさきほどと同様に答えは1/2となります。
しかし、こんな面倒なことをしないでも、今回の場合、
三角関数の公式を用いれば簡単です。
sin2θ=2sinθcosθ
という公式をもちいれば、
π/2 π/2
∫(sinθ・cosθ)dθ=1/2∫(sin2θ)dθ
0 0
となるわけです。
あとはsin2θを積分すれば、
π/2
1/4[-cos2θ] ・・・(2)
0
となり、θに値を代入してあげれば、
与式=1/4(1+1)=1/2
となるわけです。
数学の公式は以下の参考URLでも見てください。
参考URL:http://irwin.t.u-tokyo.ac.jp/~izumi/easy/Math.htm
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
> あとはsin2θを積分すれば、
> π/2
> 1/4[-cos2θ] ・・・(2)
> 0
> となり、θに値を代入してあげれば、
> 与式=1/4(1+1)=1/2
> となるわけです
必要に迫られて、必要な部分だけ学習しています。(^_^;
sin2θは、置換しなくても良い(積分できる)と言う理解で良いと言うことですね。
置換するか、しないかを判断するポイントとかはありますでしょうか?
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