初歩的な問題ですが、何か勘違いしているらしく、ご指導お願いいたします。
(問題)
複素数平面上で点P(z)が単位円上を動くとき、次の複素数wの表す図形はどのようなものか。
w=iz-i
(解答)
w=i(z-1)
=(cos(π/2)+isin(π/2))(z-1)
これはzを実軸方向に-1平行移動し、π/2回転させた図形を描く。(図示省略)
解答文の中の「zを実軸方向に-1平行移動し」の部分で引っかかっています。
というのも、y=f(x)を(p,q)だけ平行移動すればy-q=f(x-p)となるので、これをw=f(z)と見ればw=i(z-1)というのは、実軸方向に1平行移動したものになるのでは、と考えたためです。
もちろん具体的に値を考えると違うのは明らかなのですが、ついy-q=f(x-p)を連想して正の方向に移動させてしまいそうです。
大きな勘違いをしているのだと思うのですが、関数の場合とは何が違うのでしょうか。
ご教授お願いいたします。
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
No.3です。
回答の途中で中座してしまいましたので、補足します。複素数に虚数 i を掛けるごとに、π/2=90°ずつ回転すると習ったように思います。
年寄りなのでなかなか思い出せなくて、すみません。
No.3
- 回答日時:
z=x+iy=cosΘ+isinΘ.
x^2+y^2=1.
w=i(z-1)=icosΘ-sinΘ-i=-sinΘ+icosΘ-i=-cos(π/2-Θ)+i[sin(π/2-Θ)-1].
前半;(-sinΘ)^2+(cosΘ)^2=1 →円
-iとあるから、複素軸上-1移動している。
Θの向きを実軸→虚軸方向を正とする。
Θ=0のときは、z=1(実軸正)、w=0(原点)、Θ=π/2のときは、z=i、w=-1-i wの座標は(-1,-1)、
Θ=πのときは、z=1、w=-2i wの座標は(0,-2)、、・・・
すなわち、Θの向きは正で、wの回転はzの回転よりπ/2進んでいる。
No.2
- 回答日時:
>解答文の中の「zを実軸方向に-1平行移動し」の部分で引っかかっています。
というのも、y=f(x)を(p,q)だけ平行移動すればy-q=f(x-p)となるので、これをw=f(z)と見ればw=i(z-1)というのは、実軸方向に1平行移動したものになるのでは、と考えたためです。
非常によくわかります。z-1というのはガウス平面に於けるベクトルzにベクトル-1を加えたものと考えるとすっきりするでしょう。複素数の足し算、引き算はそう(ベクトルみたいに)考えるんだという話は複素数の話の最初に出てきたと思います。質問者の言われるグラフの平行移動の話とは逆方向になります。色々絵を書いてみると納得できます。
また掛け算は絶対値倍の偏角回し(回転の中心は原点)です。iの絶対値は1、偏角は90°、よって複素数z-1を反時計方向に90度回したものとなります。これは複素数の一般論であって、zの軌跡に関係なく成り立つ話です。
No.1
- 回答日時:
y=f(x) や y-q=f(x-p) を満たす点が (x,y) ですが、
w=f(z) や w=i(z-1) を満たす点が (w,z) ではないからでは?
w も z も点です。
w=iz-i より
iz=w+i
z=(w+i)/i ・・・・・・ ①
点P(z) は単位円上を動くから
|z|=1
①を代入して
|(w+i)/i|=1
|w+i|=|i|
|w+i|=1
点 w の表す図形は、中心 -i,半径 1 の円を表す。
となるのでは?
質問にある解答では、
「点P(z)が単位円上を動くとき」
という、条件を使っていませんが・・・
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