この問題の解き方を教えてください

画像の問題です。
正五角形を円に内接させてトレミーの定理で対角線の長さを出せると思うのですが、数値的な閃き一発で出る方法がありそうなので質問しました

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2017/08/02 20:58

お望みの回答ではないけれど、計算してみたら驚愕したので書いておきたい。

五角形に外接する円の半径を r とするとき、五角形の一辺 e と対角線の長さ d は、正弦定理なんかで

　e = 2r sin(π/5)
　d = 2r sin(2π/5)

としておいて、e と d の関係式

　e^2 = (d-e)d

より

　(d/e)^2 - (d/e) - 1 = 0

これを解いて　d/e = (1+√5)/2　を求める。ここに正弦定理なんかで求めたものを代入して

　cos(π/5) = (1+√5)/4

を得る。cos(π/5) を c と略記する。c は

　4c^2 = 2c + 1

を満たす。

正二十面体の横を一周する正三角形は、図の正五角形に垂直でない。ここに三平方の定理を使う。少し斜めの正三角形の底面からの高さを h とすると（それが求めるものであるが）

　h^2 + (r - r cos(π/5))^2 = (√3/2)e)^2

なので

　h^2 = (3/4)e^2 - r^2 (1-c)^2
　　　= 3r^2 sin^2(π/5) - r^2 (1-c)^2
　　　= 3r^2 (1+c)(1-c) - r^2 (1-c)^2
　　　= r^2 (1-c)(2+4c)
　　　= r^2 (2-2c-4c^2)
　　　= r^2　　← 余弦が消えた！

よって h=r 。ここでは 6 。
これは、No.1 さんと被っていると思われる。

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答えが r になることから、r で表すことを目標にする。
さらにサイン・コサインを隠蔽してみた。

五角形の一辺 e と対角線の長さ d において、比を 1 : λ とし、d = λe とする。
λ^2 = λ+1　である。

λe、λe、e の二等辺三角形の半分の直角三角形において、残り１辺は相似をつかって (λe)^2 /2r
三平方の定理から

　λ^4 e^2 = (4λ^2 -1)r^2

となり、さらに整理して

　e^2 = (3-λ)r^2

となる。


ここで、正二十面体に外接する球の半径を R とすると、辺の長さが 2R 、e 、λe の直角三角形があるから

　(2R)^2 = e^2 + λ^2 e^2
　　　　 = (1+λ^2)(3-λ)r^2
　　　　 = 5r^2　　　← λ が消えた！

となる。

　(h/2)^2 = R^2 - r^2

なので

　h^2 = 4R^2 - 4r^2
　　　= 5r^2 - 4r^2
　　　= r^2

　h = r となる。



答え丸見えじゃぁねーかー！みたいなのがありそうだけど・・・・・見えんかった

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/07/30 17:44

円柱の半径をr、正五角形の一辺をl、正五角形の内接円の半径をm、側面の正三角形の傾きをθ、2枚の正五角形の距離をdとすると、

l=2r sin(π/5)
m=r cos(π/5)
cosθ=(r-m)/l sin(π/3)
d=l sin(π/3)sinθ

となります。これを地道に解いていくと、

d=r √6/2

となり、r=6 なので、

d=3√6 //

となるのではないかと思います。

cos(π/5)=(1+√5)/4

は、求め方があちこちに出ているので参考にしてください。途中でうざい二重根号も出てきますが、最終的にはキレイに約分されるようです。