置換積分法を用いて、次の定積分を求めよ。 という問題です。 2問ともわからないので、お願いします。

置換積分法を用いて、次の定積分を求めよ。

という問題です。
2問ともわからないので、お願いします。
解答の過程も書いていただきたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/04/13 09:22

この手の置換積分は三角関数を使うのが定番です。

(2)は、
x=√3tanθとすると、積分区間は[1, √3]→[π/6, π/3]（π：円周率）に変換されます。
dx/dθ=√3/(cosθ)^2
dx=(√3/(cosθ)^2) dθ

∫[1, √3](1/(3+x^2)) dx
=∫[π/6, π/3](1/(3+(√3tanθ)^2))(√3/(cosθ)^2) dθ
=∫[π/6, π/3](1/3)(1/(1+(tanθ)^2))(√3/(cosθ)^2) dθ
=∫[π/6, π/3](1/3)(cosθ)^2)(√3/(cosθ)^2) dθ
=∫[π/6, π/3](1/√3) dθ
=(1/√3)θ[π/6, π/3]
=(1/√3)(π/3 - π/6)
=(1/√3)(π/6)
=√3π/18

(3)は、
x=tanθとすると、積分区間は[0, 1]→[0, π/4]（π：円周率）に変換されます。
dx/dθ=1/(cosθ)^2
dx=(1/(cosθ)^2) dθ

∫[0, 1](1/(1+x^2)^2) dx
=∫[0, π/4](1/(1+(tanθ)^2)^2)(1/(cosθ)^2) dθ
=∫[0, π/4]((cosθ)^2)^2)(1/(cosθ)^2) dθ
=∫[0, π/4](cosθ)^2 dθ
=∫[0, π/4](1+cos2θ)/2 dθ
=((1/2)θ+(sin2θ/4))[0, π/4]
=(1/2)(π/4)+(1/4)(sin(π/2))
=(π/8)+(1/4)

No.6 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/13 18:35

一番目はx=√3 tantとおけばいけます

これは基本なので覚えておきましょう
二番目は実はですね...
積分範囲は考えないとして
x=tantとおくと
∫cos^2 t dtになるんですが...
これどっかで見たことありません?
倍角の公式の逆を使いましょう
まぁつまり半角の公式ですね...
cos^2 t=(1+cos 2x)/2
つまり積分定数を無視すると結果は
(x+(sin 2x/2))/2あとはx=tantを
使って戻して積分範囲を代入すれば...
はい完成!

No.5 回答者： springside 回答日時： 2019/04/13 15:59

No.4の回答では、logの中に虚数が出てきているけど、定義できているのかな？（例えば、log(i)って何？　単純にiπ/2としていいの？　多価性に言及しなくていいの？）

複素解析をする問題ではないのだから、その答案はさすがにマズイのでは？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/13 14:26

分数関数の積分は、部分分数分解を使うと

ほぼ自動的にできます。

1/(x^2+3) = { 1/(x-i√3) - 1/(x+i√3) }/(i2√3)　より

∫dx/(3+x^2) = { ∫dx/(x-i√3) - ∫dx/(x+i√3) }/(i2√3)
= (-i/2√3){ log(x-i√3) - log(x+i√3)　} + 定数
= (i/2√3)log{(x+i√3)/(x-i√3)} + 定数.

∫[1,√3]dx/(3+x^2) = (i/2√3)log{(√3+i√3)/(√3-i√3)} - (i/2√3)log{(1+i√3)/(1-i√3)}
= (i/2√3){ log(i) - log((-1+i√3)/2) }
= (i/2√3){ iπ/2 - i(2/3)π }
= π/12√3.

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/04/13 11:19

定積分の定番で、a²+x²が分母にあったら、x=a tanθと置換する。

これは、問題文に指示がなくても自分で出来なければならない。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/04/13 09:25

ANo.1です。

(2)の積分区間を間違えていましたので訂正します。

(2)は、
x=√3tanθとすると、積分区間は[1, √3]→[π/6, π/4]（π：円周率）に変換されます。
dx/dθ=√3/(cosθ)^2
dx=(√3/(cosθ)^2) dθ

∫[1, √3](1/(3+x^2)) dx
=∫[π/6, π/4](1/(3+(√3tanθ)^2))(√3/(cosθ)^2) dθ
=∫[π/6, π/4](1/3)(1/(1+(tanθ)^2))(√3/(cosθ)^2) dθ
=∫[π/6, π/4](1/3)(cosθ)^2)(√3/(cosθ)^2) dθ
=∫[π/6, π/4](1/√3) dθ
=(1/√3)θ[π/6, π/4]
=(1/√3)(π/4 - π/6)
=(1/√3)(π/12)
=√3π/36

(3)は、
x=tanθとすると、積分区間は[0, 1]→[0, π/4]（π：円周率）に変換されます。
dx/dθ=1/(cosθ)^2
dx=(1/(cosθ)^2) dθ

∫[0, 1](1/(1+x^2)^2) dx
=∫[0, π/4](1/(1+(tanθ)^2)^2)(1/(cosθ)^2) dθ
=∫[0, π/4]((cosθ)^2)^2)(1/(cosθ)^2) dθ
=∫[0, π/4](cosθ)^2 dθ
=∫[0, π/4](1+cos2θ)/2 dθ
=((1/2)θ+(sin2θ/4))[0, π/4]
=(1/2)(π/4)+(1/4)(sin(π/2))
=(π/8)+(1/4)