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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
逐次積分に変換するだけ。
>∬D x^2dxdy,ただしD: x+y≦2 x≧0 y≧0
I=∫[0,2] (x^2)dx ∫[0,2-x] dy
=∫[0,2] (x^2)(2-x)dx
=∫[0,2] (2x^2 -x^3)dx
後は自分でできますね。
(2)
>∬D sin(x+y)dxdy、ただしD: 0≦x≦π/2, x≦y≦π-x
逐次積分に変換すると
I=∫[0,π/2] dx∫[x,π-x] sin(x+y)dy
=∫[0,π/2] {[-cos(x+y)] (y=π-x)-[-cos(x+y)](y=x)}dx
=∫[0,π/2] {-cosπ+cos(2x)}dx
後は自分でできオますね。
(3)
>∬D ydxdy, ただしD:y≧0, 1≦x^2+y^2≦4
x=rcosθ,y=rsinθで置換すると、D⇒E:1≦r≦2, 0≦θ≦π
dxdy=rdrdθ なので
I=∫[0,π]dθ∫[1,2] (r^2)sinθ dr
=∫[0,π] sinθdθ∫[1,2] (r^2)dr
={[-cosθ](θ=π)-[-cosθ](θ=0)}{[(r^3)/3](r=2)-[(r^3)/3](r=1)}
=(1+1){(8/3)-(1/3)}
後は自分でやってください。
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