この問題を極座標にして積分を解いて行くのですが π0:z=2x+2y S:z=x^2+y^2 D:{

この問題を極座標にして積分を解いて行くのですが

π0:z=2x+2y
S:z=x^2+y^2

D:{(r,θ,x) | ≦ r ≦ , ≦ θ ≦ , ≦ z ≦ }
r,θ,zのそれぞれの範囲なのですが
rはDの範囲の式((x-1)^2+(y-1)^2=2)にx=rcosθ、y=rsinθを代入して求める。
θは図から -π/4 ≦θ≦ 3π/4
zは関数のグラフてきにπ0が上でSが下だから
それぞれの式にx=rcosθ、y=rsinθを代入して求める

θの求め方って図から読み取るしかないのでしょうか？
また他の方法でrやzの範囲を求めれることは可能でしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/14 16:13

>また他の方法でrやzの範囲を求めれることは可能でしょうか？<

●r²≦z≦2r(cosθ+sinθ)
　また、C: r²-2√2rcos(θ-π/4)=2 ですから
　　0≦r≦√2[cos(θ-π/4)+√{1+cos²(θ-π/4)}]
　です・・・・が、計算する気がしません。

そこで、-π/4だけ回転した図形で考えます。すると Sは変わらず、
　C: (x-√2)²+y²=2 → r=(2√2)cosθ
　π₀: z=2√2x=(2√2)rcosθ
となる。すると積分範囲は
　-π/2≦θ≦π/2
　0≦r≦(2√2)cosθ
　r²≦z≦(2√2)rcosθ
となる。

積分は
　∫dz∬r²(rdθdr)・・・・zの積分を実行
　=∬r²(rdθdr){(2√2)rcosθ-r²}
　=∬dθdr{(2√2)r⁴cosθ-r⁵}・・・・rの積分を実行
　=∫[-π/2→π/2] dθ [ (2√2/5)r⁵cosθ-r⁶/6 ][(2√2)cosθ,0]
　=∫[-π/4→π/4] dθ [ {(2√2)⁶/5}cos⁶θ-(2√2)⁶/6}cos⁶θ ]
　=(2√2)⁶∫[-π/2→π/2] dθ [ (1/30)cos⁶θ ]・・・・θで遇関数
　=2(2⁹/30)∫[0→π/2] cos⁶θdθ
　=(2⁹/15)(π/2)(5・3・1)/(6・4・2)
　=(2⁴/15)π(5・3・1)/3
　=(2⁴/3)π=(16/3)π

この回答へのお礼

最後の計算までして頂き感謝しかありません、問題を解くことが出来ました！ありがとうございます！

お礼日時：2023/04/14 16:47

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/14 19:18

(x-1)^2+(y-1)^2=2

x^2+y^2-2x-2y=0
に
x=rcosθ
y=rsinθ
を代入すると
(rcosθ)^2+(rsinθ)^2-2rcosθ-2rsinθ=0
r^2-2rcosθ-2rsinθ=0
r^2=2rcosθ+2rsinθ
r=2(cosθ+sinθ)
r=2√2{(1/√2)cosθ+(1/√2)sinθ)
r=(2√2)sin(θ+π/4)
↓r≧0だから
sin(θ+π/4)≧0
↓
0≦θ+π/4≦π
∴
-π/4≦θ≦3π/4

この回答へのお礼

数式からこうやって求めるのですね。この時期からはrの範囲しか出ないかと思ってました。しっかり数式からでも導出できて良かったです。助かりました！ありがとうございます！

お礼日時：2023/04/14 19:24