∫0→π/2 sin^2x dx

∫0→π/2 sin^2x dxを求める問題で二倍角の公式sin^2x=1-cos2x/2を使うと、
与式=∫0→π/2 1-cos2x/2 dx = 1/2 ∫0→π/2 (1-cos2x) dxとなると思うのですが、この先をどうしたらよいのかわかりません。

また∫0→π/2 sin^2xcosx dxの解説もよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/29 23:59

∫[ 1 - cos(2x) ]dx

=∫dx - ∫cos(2x)dx

2項目は y = 2x とおけば
　dy/dx = 2
より
　dx = (1/2)dy

よって
　∫cos(2x)dx = (1/2)∫cos(y)dy

定積分の場合には、x → y のときの積分範囲に注意してください。

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/06/30 02:48

I = ∫[0 -> π/2] (sin x)^2 dx, J = ∫[0 -> π/2] (cos x)^2 dx

I = J を, グラフより明らか, で済ませることは, さすがに許されませんかね.
置換積分か, I = で始まる部分積分でもいえますか.
I + J = π/2 は, 自力で大丈夫でしょうか.
F(x) が f(x) の原始函数のとき, F(ax + b)/a が f(ax + b) の原始函数であることは, 知らないで済ませることは許されないでしょう.
ただし, a, b は定数で, a ≠ 0 とします.
(sin x)^2 = (1 - cos 2x)/2 は, 半角の公式といいます.
右辺からスタートさせれば, 二倍角の公式で左辺にたどり着けますけどね.

(sin x)^3 を x で微分すると, (cos x)(sin x)^2 になってくれなくて, 困りました.
だったら, 先に 1/3 を掛けておけば, どうでしょうか.
けど, ふつうは置換積分だと思います.

うーん...
この程度の基本問題で苦戦しているようだと, ちょっと厳しいですよ.
なんとか巻き返してください.
積分だけでなく, 微分の復習もしたほうがいいと思います.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/06/29 23:57

下は置換積分だねぇ, ふつうに.

上に対しては x = π/2 - t という置換をしてもおもしろいところ.

No.1 回答者： uyama33 回答日時： 2016/06/29 18:35

だめでもともと

x-sin2x
を微分してみてください。
不具合があったらちょっと修正。
きっと、原始関数が見つかります。