数列について。

次の問題が分かりません。詳しく教えていただけると幸いです。
定数x，yに対して，an=x^n+y^nで定義される数列{an}(n=1,2,…)がある．a1,a2,a3は整数で
(i)a2=-4 (ii)a3は3で割って1余る をみたすとき，次の各問いに答えよ．
(1)a1は6で割って4余る整数であることを示せ．
(2)a1=-2のとき，a(n+2),a(n+1),anのみたす関係式を求めよ．また，このとき
an=2^(n+1)(nが3の倍数のとき)またはan=-2^n(nが3の倍数でないとき)と表されることを示せ．
大変恐縮ですが。

質問者からの補足コメント

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  a(n+2)+2a(n+1)+4a(n)=0
  
  (-1+i√3)=(-1)2(cos(π/3)-isin(π/3))
  (-1-i√3)=(-1)2(cos(π/3)+isin(π/3))
  
  a(n)=(-1)^n*2^n((cos(π/3)-sin(π/3))^n+(cos(π/3)+isin(π/3))^n)
  =(-1)^n*2^n((cos(nπ/3)-sin(nπ/3))+(cos(nπ/3)+isin(nπ/3)))
  =(-1)^n*2^(n+1)cos(nπ/3)
  
  n=3k(k:整数)のとき、
  (-1)^n*cos(nπ/3)=1
  
  n=6k±1,6k±2 のとき
  (-1)^n*cos(nπ/3)=-1/2
  
  したがって、
  nが3の倍数のとき、an=2^(n+1)
  nが3の倍数でないとき、 an=-2^n
  ここら辺が、分かりません。大変恐縮ですが。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/19 14:46

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  すみません。No.2さんの解説をもっと詳しく教えていただければと思います。大変恐縮ですが。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/22 11:52

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  すみません。最初からわかりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/08/22 19:03

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  No.3さんの解説です。

    補足日時：2018/08/22 19:25

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/22 13:46

No.1です、呼ばれたのででしゃばります

3項漸化式、特性方程式の解から一般項を出す
解をα、βとすると
an = c1*α^n + c2*β^n ：c1,c2は初期条件により定まる定数

大きさ1の複素数をかけることは複素平面上の回転になるので
(cos(π/3)-sin(π/3))^n = cos(nπ/3)-sin(nπ/3)

この2つの知識があれば、No.2様のご回答は理解できるのではないでしょうか

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/18 19:51

a2<0よりx,yは複素数であるから、x1,x2,y1,y2を実数として

x=x1+ix2
y=y1+iy2
とおくことができる。

a1= x1+y1+i(x2+y2)=実数
より、
x2+y2=0
x2=β(>0)
y2=-β
とおく。

a2=(x1+iβ)^2+(y1-iβ)^2
=x1^2+y1^2-2β^2+i(x1-y1)β=-4
より、
x1=y1=α
a2=α^2-β^2=-2
a1=2α
a3=(α+iβ)^3+(α-iβ)^3=2α(α^2-3β^3)
= 2α(α^2-3(α^2+2))=-4α(α^2+3)
α=p/q (p,qは互いに素である整数)
とおくと、
a3=-4(p/q)^3-12p/q
a3が整数となるためには、q=1でなければならいことが分かる。
すなわち、αは整数である。

α=3mとすると、a3は3の倍数である。
α=3m+1とすると、a3=-4(3m+1)((3m+1)^2+3)≡-4(mod3)≡2(mod3)
α=3m+2とすると、a3=-4(3m+2)((3m+2)^2+3)≡-32(mod3)≡1(mod3)
したがって、
α=3m+2となる。
a1=2α=6m+4
となる。
a1=-2よりα=-1, β=√3となる。
特性根が-1±i√3であるから、
特性方程式は、
t^2+2t+4=0
となる。したがって、
a(n+2)+2a(n+1)+4a(n)=0

(-1+i√3)=(-1)2(cos(π/3)-isin(π/3))
(-1-i√3)=(-1)2(cos(π/3)+isin(π/3))

a(n)=(-1)^n*2^n((cos(π/3)-sin(π/3))^n+(cos(π/3)+isin(π/3))^n)
=(-1)^n*2^n((cos(nπ/3)-sin(nπ/3))+(cos(nπ/3)+isin(nπ/3)))
=(-1)^n*2^(n+1)cos(nπ/3)

n=3k(k:整数)のとき、
(-1)^n*cos(nπ/3)=1

n=6k±1,6k±2 のとき
(-1)^n*cos(nπ/3)=-1/2

したがって、
nが3の倍数のとき、an=2^(n+1)
nが3の倍数でないとき、 an=-2^n

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/17 17:26

a2 < 0、a1,a2,a3 は整数　という条件から

x,y は共役複素数　が導けるのではないでしょうか

x = m+ni : mは整数、n^2は整数で

m=3k+2 でないと　a3が 3j+1 にならないので
a1 = 2m = 6k+4 となりそうです

a1,a2 が与えられているので、xy が求められて
xy が分かれば、a(n+2)=a1*a(n+1)-xy*an で関係式が出ると思います

最後の証明は数学的帰納法を使えば示せるのではないでしょうか