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数学3
定積分を求めるのに、x=2sinθとおきましたが、このときの範囲の作り方がわかりません。
解答には-π/6 <=θ <= π/3 でcosθ>0であるから〜となっているのですが、どこからきたのでしょうか?
初学者に優しい解説でお願い致します

「数学3 定積分を求めるのに、x=2sin」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 皆さんの解説見たんですけど、いまいちわかりません。お時間に余裕のある方がいらっしゃいましたら紙に書いていただけると大変助かります。

      補足日時:2021/02/03 15:57
gooドクター

A 回答 (6件)

cosθ>0であるから・・・これはあまり関係なさそうです



まず、注意しないといけないのは
定積分では、置き換えた関数が単調減少または単調増加にならないといけないという事です!
これに留意せずに
x=-1のとき(このx=-1というのは元の積分の積分区間の-1から来ています)
2sinθ=x=-1
⇔sinθ=-1/2
θ=-π/6または 7π/6または 11π/6・・・など
x=√3のとき(このx=√3というのは元の積分の積分区間の√3から来ています)
2sinθ=x=√3
⇔sinθ=√3/2
⇔θ=π/3,2π/3、7π/3・・・
なんでこれらから適当に組み合わせて
x|-1 →√3
θ|-π/6→7π/3
という対応表を作ってしまうと
θ=-π/6では、2sinθ=-1…①
θを徐々に大きくしていって
θ=π/2では 2sinθ=+2…②
θ=3π/2では 2sinθ=-2…③
θ=7π/3では 2sinθ=√3…4
という状態で、2sinθが増加したり減少したりとなってしまいます
もとの積分がxを-1から徐々に大きくしていって√3までのグラフの面積を求めるという意味であるのに対して
今の対応表では
2sinθ=xが、-1から始まって(←←←①)
やがて√3になり
さらに+2(←←←②)になり
その後-2(←←←➂)になり
その後√3(←←←4 )になっているので
xが-1と√3の間を何往復かしてしまっていて
x=1~√3までの往復なしでの積分とは意味がことなっているのです
だから、たとえば模範解答のように2sinθが単調増加になるように範囲を決めて
x|-1 →√3
θ|-π/6→π/3
という対応表を作ります

この対応表は1例で
2sinθが単調となるようなものであれば
θの値を変えて対応表を作ることも可能です
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この-π/6 からπ/3が区間を往復しないかどうかは間にたとえば0やπ/2をいれてみて往復しないかどうかをいちいち検討しなければならないのでしょうか?


>>>その通りです
その証拠に、2sinθ=x=-1
⇔θ=-π/6または 7π/6または 11π/6・・・など
2sinθ=x=√3
⇔sinθ=√3/2
⇔θ=π/3,2π/3、7π/3・・・
なんでこれらから適当に組み合わせて
x|-1 →√3
θ|-π/6→7π/3
という対応にして実際に計算をしてみてください・・・
答えが食い違うはずです
その理由は、前述のように、この範囲では2sinθが単調関数ではないから
ある部分では単調増加、別の部分では単調減少
増加と減少が入り乱れているためこの区間の取り方ではダメなんです
ただし、Y=sinθというグラフや単位円などを思い浮かべれば単調かどうかの判断は容易なはずです
例えばグラフを思い浮かべれば
Y=sinθはθ=π/2でグラフの山を迎えるんで、π/2をまたぐような範囲を設定してしまえば単調でなくなるというのはすぐ判断がつくのです
2-x=tでも同じこと
t=2-xは一次関数なんでこれはどの区間でも単調減少
一発で判断がつくのです

これを踏まえて、この問題では別の単調な区間を選んで

x|-1 →√3
θ|11π/6→7π/3

などにしても良いのです
試しに計算すれば正答が出るはずです
ただし、計算が楽になるような区間を選ぶ方が賢いですよね・・・
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ようやく理解ができました。選んだ区間においては必ず増、減の入れ替わりがない区間を選んであげることが大事なのですね。
わかりやすい解説ありがとうございます。

お礼日時:2021/02/05 09:49

そのとおり 2→1です


よって、
∫[0→1](x-1)/(2-x)² dx=∫[2→1](1-t)/t² dt
という置換積分になりますよね
このときのxとtの対応表は
x|0→1
t|2→1
です
置き換え後の関数は1-t/t² という形のtの関数なんで対応表のtの範囲を積分区間にして定積分したわけです

画像の積分もこれと同じです
x=2sinθ とおいたので
x²=4sin²θ
∫[-1→√3]√(4-x²)dx=∫√(4-4sin²θ)dθ (・・・積分区間は調査中)
という置換積分になるわけです
で、置換後の右辺は4-4sin²θというθの関数ですから
θの範囲を対応表に書いて、それを見ながら積分区間を決定することになるのです

ということで、対応表の作成です
x=2sinθとおいたので
定積分左辺の下端を見てx=-1だから
-1=2sinθ
⇔-1/2=sinθ
同様に上端の√3を見て
√3=2sinθ
⇔√3/2=sinθ
なんで 仮にxとsinθの対応表を作るとしたら
x  |-1 →√3
sinθ |-1/2→√3/2
という表になります
けれども先ほど書いたように、今回の置換積分の右辺はθの関数です
なんでsinθとの対応表では役に立たないのです

そこで、表の下段をθに書きかえです
sinθ=-1/2のとき
すぐに思いつくθの解はθ=-π/6
sinθ√3/2のとき
すぐに思いつくのはθ= π/3
ゆえに対応表は
x  |-1 →√3
sinθ |-1/2→√3/2
   ↓
x  |-1 →√3
θ  |-π/6→π/3
となり、これを見て
∫[-1→√3]√(4-x²)dx=∫√(4-4sin²θ)dθ・・・積分区間-π/6→π/3
となるわけです

ここまで理解できますか?
ただし、このθの対応表の書き方は少しざっくりしていて注意点が欠けています
(#3に書いたように θの範囲は2sinθが単調関数になるように決めないといけないんです)
ここまで理解できたようなら更なる注意点について補足いたします・・・
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この回答へのお礼

はい。わかりやすく解説ありがとうございます。
この-π/6 からπ/3が区間を往復しないかどうかは間にたとえば0やπ/2をいれてみて往復しないかどうかをいちいち検討しなければならないのでしょうか?

お礼日時:2021/02/04 13:15

じゃ


これは分かりますか?
∫[0→1](x-1)/(2-x)² dx
・・・分子がx-1で分母が(2-x)²という関数の定積分 
積分区間は∫記号の下端が0で、上端が1

これ、2-x=tとおくのが標準だと思いますが
tに書き換えたときの積分区間はどのように変わりますか?

これが分かるかどうかで、どこから説明すべきか見極めさせていただきます(なお、きょうはもう時間が取れないので、つづきの説明は明日以降になります)
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この回答へのお礼

2→1です。すいません。

お礼日時:2021/02/03 16:48

x:-1~√3なので、


2sinθ:-1~√3

2sinθ=-1, 2sinθ=√3
sinθ=-1/2, sinθ=√3/2
θ=-π/6, π/3

x=2sinθ
dx/dθ=2cosθ

よって、
∫[-1,√3] √(4-x^2) dx
=∫[-π/6,π/3] √(4-(2sinθ)^2) 2cosθ dθ
=∫[-π/6,π/3] 2√(1-(sinθ)^2) 2cosθ dθ
=∫[-π/6,π/3] 2cosθ 2cosθ dθ
=∫[-π/6,π/3] 4(cosθ)^2 dθ

あとはθについて積分するだけ。
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2sinθ=-1


→sinθ=-1/2
θ=π/3
のようなこと
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