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x/(a^2+x^2)の積分について

t=a^2+x^2とおいて
dt=2xdx
よって
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C
と置換積分により積分することが出来ますが、
部分積分では計算できないのでしょうか?

(a^2+x^2)'=2x
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx
として計算できると思ったのですが、うまく行きません。
どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

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A 回答 (5件)

#2です.



部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

一般に,積分や微分方程式を解く場合に,ある決まった統一的な,
方法というものがありません.個々の場合について,想像力や創造力を
働かして,個別に,新しく考えねばなりません.そこが,また,魅力とも言えるでしょう.

高校,大学の演習問題ならば,過去に考えられている方法のいずれかが応用できます.
しかし,大学院や社会へ出るなどして直面する問題には,新しい方法を必要とする場合が多いです.
その時は,過去の応用問題は役に立たず,やはり想像力や創造力を発揮しなければ解決しない事が多いでしょう.

そこで,あなたが,

>>「部分積分の形にすることができれば必ず求めたい積分が得られる!」

のではないか,と思い込んだ,その着想が大事なのです.
そういう着想・アイデア・手がかりの思いつき,などがなければ,物事の進歩・発展はないのです.

そう言う,あなたの意識が「お礼」に書かれていましたので,
また,この様な,つたない回答(投稿)となりました.

●(注)些細な事かも知れませんが,f(x)の微分は,
  f(x)' ではなく f'(x) と書くのが正しいと思います.
  手書きで書く時も,カッコの後にプライム(ダッシュ)をつける
   f(x)' ではなく,f にプライムを付けて,f'(x) と書いています.
  私は,学生時代から今に至るまで,永年その様に書いていますが,
  最近の記号法は変わりましたか?

とめどもない書き込みで,お時間を取らせまして,大変失礼いたしました.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

大変詳しく、さらにアドバイスまで頂いて恐縮です。
元々数学が得意でないこともあり、
今後も問題の度に勝手な思い込みと躓きに出くわすことでしょうが、
今回皆様に頂いたご回答から新たな視点を知る事が出来ましたので、
忘れずに活かして参りたいと思います。

記号法につきましては、単純に私のミスです…。
ご指摘ありがとうございます。

お礼日時:2010/09/11 00:21

#1です。



A#1の補足の質問について

>別物として認識した方がよろしいのでしょうか?
そうです。これはこれで有用な公式ですので
別物として認識した方がいいでしょう。
他の方の解答に比べこの公式を適用すれば、はるかに簡単かつスマートに積分できることに
気が付きませんか?
色々な積分に対して適用できますので、独立した公式として覚えておいた方が言いと思います。
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この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。

なるほど、スピーディに解けるのもご紹介頂いた方法の魅力ですね。
最初の内は置換積分をいちいち考えながらになるかもしれませんが、
利便さを意識して使いこなせるようにしたいと思います。
ありがとうございます。

お礼日時:2010/09/11 00:17

#2です.



言葉足らずで意味のない記述になってしまっているようですので,
補足します.言いたかったのは,

∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx

は,

∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*{d(a^2+x^2)/dx}]dx

であり,

∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*d(a^2+x^2)]

と書けるので,結局,

∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)log(a^2+x^2)+C

となる,と言うつもりでした.


一方,部分積分法では,∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx が

∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx =

=(1/(a^2+x^2))*∫[(a^2+x^2)']dx
-∫[{d(1/(a^2+x^2))/dx}*(a^2+x^2)]dx =

=(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)
-∫[{d(1/(a^2+x^2))/dx}*(a^2+x^2)]dx =

=1-∫[{-(2x/(a^2+x^2)^2)}*(a^2+x^2)]dx =

=1+2∫[x/(a^2+x^2)]dx

なので,

(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx =
=(1/2)+∫[x/(a^2+x^2)]dx

となりますから,

∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)+∫[x/(a^2+x^2)]dx+C

0=(1/2)+C

というような事になってしまい,積分が得られません.
したがって,部分積分法を使うには適さない問題という事になります.
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この回答へのお礼

お返事、ありがとうございます!
最初に頂いたご回答と、その補足はまさに置換積分による解法ですね。
ありがとうございます。

部分積分についてですが、私も同じ結果になってしまい、積分が得られませんでした。

部分積分は
∫f(x)g(x)'dx=f(x)g(x)-∫f(x)'g(x)dx
と書けますが、
問題の積分を上式の形に持って行くことができたのに、
何故積分結果が得られなかったのかが不思議です。
おそらく、
「部分積分の形にすることができれば
必ず求めたい積分が得られる!」
という勝手な思い込みが自分にあったためかと思うのですが…
部分積分法といっても、得たい結果に必ず到達できるわけではないのですね。

お礼日時:2010/09/10 01:08

>>∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx



この解き方は,考え方も,方法も正しいです.
いきなり,(a^2+x^2)'=2x としたので,迷ったのです.
これは,まず,

u=a^2+x^2

とおいて微分します.すると,

du=2x・dx

ですから,

(1/2)du=x・dx

になります.ここで,∫(x/(a^2+x^2))dx が

∫(x/(a^2+x^2))dx=∫(x・dx)/(a^2+x^2)=
=∫(1/2)du/u=(1/2)∫du/u=(1/2)∫(1/u)du=
=(1/2)log(u)

となります.したがって,u=a^2+x^2 なので,

∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)log(a^2+x^2)

です.
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部分積分も、置換も必要ない簡単な積分で、公式に当てはまる積分です。


この積分は分母の微分が分子になるパターンで公式にある積分なのでそれに気が付かないといけないね。

∫x/(a^2+x^2)dx=(1/2)∫(a^2+x^2)'/(a^2+x^2)dx
=(1/2)log(a^2+x^2) +C

公式
F(x)=∫f(x)dxの時
∫g'(x)f(g(x))dx=F(g(x))+C

今の場合、g(x)=a^2+x^2,f(x)=1/x,F(x)=log|x|+C
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます!
お答えの方法についてですが、
この公式は置換積分での手続きをまとめたもののように思ったのですが、
別物として認識した方がよろしいのでしょうか?

お礼日時:2010/09/10 00:58

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=3x^3√(1-x^2)-∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx+∫dx/√(1-x^2)
=3x^3√(1-x^2)-∫(1+x^2)√(1-x^2)dx+sin^-1x
左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して
2∫x^2√(1-x^2)=(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C
よって
∫x^2√(1-x^2)=1/2{(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C}

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Aベストアンサー

こんばんは。

考え方としては、
x^2 + a^2 という一つの式をセットとして、
a^2(何かの三角関数^2 + 1)
が簡単になるような三角関数を選択します。

すなわち、
x = atanθ = asinθ/cosθ と置きます・・・

・・・とは言ってはみたものの、私自身、最後まで計算してみないと、その考え方でよいのか自信がないので、計算してみました。


微分公式 (tanθ)’= 1/(cosθ)^2
dx = a・dθ/(cosθ)^2

また、
x^2 + a^2 = (a^2・(tanθ)^2 + a^2)
 = a^2((tanθ)^2 + 1)
 = a^2((sinθ/cosθ)^2 + (cosθ/cosθ)^2)
 = a^2(1/(cosθ)^2)
 = a^2/(cosθ)^2

よって、
与式 = ∫a^2 / ( x^2 + a^2 ) ^(3/2)dx
 = ∫a^2/(a^2/(cosθ)^2)^3/2・a・dθ/(cosθ)^2
 = ∫a^2/(a^3/(cosθ)^3)・a・dθ/(cosθ)^2
 = ∫cosθ・dθ
 = sinθ + C

ここで、sinθ をxを用いて表すには・・・
-------------------------------------
1/(tanθ)^2 = (cosθ)^2/(sinθ)^2
 = (1 - (sinθ)^2)/(sinθ)^2
 = 1/(sinθ)^2 - 1

1/(tanθ)^2 + 1 = 1/(sinθ)^2

よって、
(sinθ)^2 = 1/(1/(tanθ)^2 + 1)

x = atanθ と置いていたので、(tanθ)^2 = (x/a)^2

(sinθ)^2 = 1/{(a/x)^2 + 1}
-------------------------------------

よって、
与式 = 1/{(a/x)^2 + 1}^(1/2) + C

分母と分子にxをかけて
与式 = x/{a^2 + x^2}^(1/2) + C


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

考え方としては、
x^2 + a^2 という一つの式をセットとして、
a^2(何かの三角関数^2 + 1)
が簡単になるような三角関数を選択します。

すなわち、
x = atanθ = asinθ/cosθ と置きます・・・

・・・とは言ってはみたものの、私自身、最後まで計算してみないと、その考え方でよいのか自信がないので、計算してみました。


微分公式 (tanθ)’= 1/(cosθ)^2
dx = a・dθ/(cosθ)^2

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x^2 + a^2 = (a^2・(tanθ)^2 + a^...続きを読む


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