「忠犬もちしば」のAIボットを作ろう!

とても初歩的なのですが、積分についての質問です。
∫{x/(x+1)}dxの解き方が分かりません。

以下のように解きました。

∫{x/(x+1)}dx
x+1=tとする
x=t-1よりdx=dt
よって
∫{x/(x+1)}dx=∫{(t-1)/t}dt
=∫(1-1/t)dt
=t-log(t)+C (C:積分定数)
=(x+1)-log(x+1)+C

こうなったのですが、どうやら計算違いのようで、解は「x-log(x+1)+C」となっていました。
解が出なかったわけではなく、最初の時点で「x/(x+1)」を「1-1/(x+1)」と変形したらちゃんと解は出たのですが、上記の解法の間違いが分からず、もやもやしています。
どこが間違っているのでしょうか。
置換積分が使えるのは特定の数式の場合のみなのでしょうか。
積分は不得意なので、見苦しい点あるかと思いますが、ご指摘お願いします。

A 回答 (1件)

見たかんじ合っていそうです。



=(x+1)-log(x+1)+C

=x-log(x+1)+(C+1)

C+1を積分定数と考えればいいでしょう。
    • good
    • 4
この回答へのお礼

なるほど!
Cで表したもののみを積分定数と見なしていたので、目から鱗でした。
素早い回答をありがとうございました。

お礼日時:2012/12/24 22:46

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Q∫1/x√(x^2+1) の積分について。

∫1/x√x^2+1を積分しろ
という問題があるのですが、解答をみると
√(x^2+1)=t-x
と、置き換えて積分していくのですが、僕は
√(x^2+1)=t
とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか?
一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。

答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

Q数(3)・不定積分 : log(x+2)、log(1-x)の積分の仕方

数(3)の不定積分で「log(x+2)」「log(1-x)」(どちらも底はeです)の積分をやったのですが、授業で理解しきれなかった事があります。


最初の問題は部分積分法の公式を使うと
∫log(x+2)=log(x+2)・x-∫1/(x+2)・xdx …(1)となり、
解答は
log(x+2)・x-x+2log|x+2|+C (Cは積分定数)

となるのですが、(1)式の右辺、「∫1/(x+2)・xdx」の部分を、何故、それぞれを約分して「∫1dx+∫1/2xdx」としてはいけないのかが判りません。


次の問題は、上と同じようにして部分積分法の公式を使うと
∫log(1-x)=log(1-x)・x+∫x/(1-x)dx …(2)となり、
解答は
x・log(1-x)-x-log|1-x|+C(Cは積分定数)

となるのですが、ここで、(2)式の右辺、∫x/(1-x)dxの部分を、部分分数に分けて∫{-1+1/(1-x)}にするのですが(今の式の『-1』は、(1-x)で割られない、普通の-1です)、そういう風に変形する意味が分かりません。


分かる方が居ましたら、教えて下さると嬉しいです!

数(3)の不定積分で「log(x+2)」「log(1-x)」(どちらも底はeです)の積分をやったのですが、授業で理解しきれなかった事があります。


最初の問題は部分積分法の公式を使うと
∫log(x+2)=log(x+2)・x-∫1/(x+2)・xdx …(1)となり、
解答は
log(x+2)・x-x+2log|x+2|+C (Cは積分定数)

となるのですが、(1)式の右辺、「∫1/(x+2)・xdx」の部分を、何故、それぞれを約分して「∫1dx+∫1/2xdx」としてはいけないのかが判りません。


次の問題は、上と同じようにして部分積分法の公式を使うと
∫log(1-x)=lo...続きを読む

Aベストアンサー

ひとつめ。
1/(x+2) = 1/x + 1/2 だと勘違いしていませんか?

ふたつめ。
(1)式とは違い、分子にxがあるので、部分分数分解をして、
分子にxがない状態にすると、積分しやすくなるからです。
この例でいくと、∫(-1+1/(1-x))dx = -∫1dx + ∫(1/(1-x))dxになるので、
あとはそのまま積分できます。

Q積分 ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx

問題) By using the substitution u = 2x - 1 , or otherwise, find ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx

これを私流に計算していくと 

∫(2x)/(2x - 1) ^2  du/2 

1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du

1/2 ∫ ( u ^ -1 + u ^ -2) du

ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c  となっていいのでしょうか?

それとも 1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du  となり
1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか?

Aベストアンサー

u = 2x - 1
du=2dx ⇒ dx=(1/2)du
2x=u+1
より

I=∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx=∫(u+1)/u^2 (1/2)du

>これを私流に計算していくと 

>∫(2x)/(2x - 1) ^2  du/2 ←同じ積分の式では1つの積分変数しか使っては使っていけないよ。 

>1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du
I=(1/2) ∫ (u+1) u^(-2) du

>(1/2) ∫ ( u ^-1 + u ^-2 ) du
I=(1/2) ∫ ( u ^(-1) + u ^(-2) ) du

>ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
>1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c  となっていいのでしょうか?
これは間違いです。↑

>それとも 1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du  となり
I=(1/2) ∫((1/u) +(1/u^2)) du

>1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか?
I=(1/2) ( ln |u| - (1/u) ) + c
これ↑なら合っているよ。
後はu=2x-1を代入してもとの変数xに戻せば良いです。

u = 2x - 1
du=2dx ⇒ dx=(1/2)du
2x=u+1
より

I=∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx=∫(u+1)/u^2 (1/2)du

>これを私流に計算していくと 

>∫(2x)/(2x - 1) ^2  du/2 ←同じ積分の式では1つの積分変数しか使っては使っていけないよ。 

>1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du
I=(1/2) ∫ (u+1) u^(-2) du

>(1/2) ∫ ( u ^-1 + u ^-2 ) du
I=(1/2) ∫ ( u ^(-1) + u ^(-2) ) du

>ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
>1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c  となっていいのでしょうか?
これは間違いです。...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Q∫1/(x^2+x-1)dxの計算方法を教えてください

この積分はどうやって計算すればいいのでしょうか。

数学の問題集の練習問題にあるため略解答しかないため変形の意味が解りませんでした。
x^2+x-1は部分分数にも分解できないし、(x+1/2)^2+3/4と変形してtanの公式に適用しようとしてみたのですが解答のようには変形できませんでした。

ちなみに解答は
∫1/(x^2+x-1)dx
の変形がいきなり1/√5log|2x-(√5-1)/2x+(√5+1)|となっていました。

わかる方いらっしゃいましたらお願いします。

Aベストアンサー

>x^2+x-1は部分分数にも分解できないし
解の公式を使えば因数分解できるので、
部分分数展開してください。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング