log{x+√(x^2+1)}の導関数（微分）

log{x+√(x^2+1)}の導関数（微分）についてです。
以下のように解いて見たんですが
y=log{x+√(x^2+1)}と置く。
y'=[log{x+√(x^2+1)}]'
={1-1/2(x^2+1)^-1/2*2x}/x+√(x^2+1)
=[1-x/√(x^2+1)]/x+√(x^2+1)
={√(x^2+1)-x}/{x+√(x^2+1)}*{√(x^2+1)}
となりました。
何かおかしいような気もするんですが…
途中式を含め解答・解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： hatake333 回答日時： 2008/10/16 17:49

1行目の分子が間違っているようです．

　　={1-1/2(x^2+1)^-1/2*2x}/x+√(x^2+1)
ではなく，
　　={1 + (1/2)(x^2 + 1)^(-1/2) * 2x}/(x + √(x^2 + 1))
となります．
あとは，整理すれば x + √(x^2 + 1) で約分できます．
答えは
　　y' = 1/√(x^2 + 1)
となります．

この回答へのお礼

＋と－を間違えてたんですね。わずかな間違いで答えが大きく変わってしまいますね。ありがとうございました。

お礼日時：2008/10/16 22:02

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/10/16 18:38

#1さんが訂正されて正しい結果を出されていますので、

補足だけ。
log{x+√(x^2+1)}≡asinh(x)
でasinh(x)の定義の１つでもあります。
（ハイパボリック・アークサイン・エックスと読みます。逆双曲線関数）
{asinh(x)}'=1/√(1+x^2)
∫1/√(1+x^2)dx=asinh(x)+C
という事を覚えておくと役立つと思います（公式）。

この回答へのお礼

ハイパボリック・アークサイン・エックスってという公式を初めて知りました。大変勉強になります。ありがとうございました。

お礼日時：2008/10/16 22:05