log(1-x^2) のn階導関数

log(1-x^2)　のn階導関数を求めてください、お願いします。　

│x│<1　です。

No.2 ベストアンサー 回答者： sunflower-san 回答日時： 2013/06/03 20:19

│x│<1のとき、1+x,1-x は共に正です。

よって、

log(1-x^2)
= log{(1-x)・(1+x)}
= log(1-x)+log(1+x) となります。

これより、一階導関数は

(d/dx){log(1-x^2)}
= (d/dx){log(1-x)+log(1+x)}
= 1/(x-1)+1/(x+1)

と計算出来、

さらに繰り返し微分することで、

(d/dx)^n{log(1-x^2)}
= (d/dx)^(n-1){1/(x-1)+1/(x+1)}
= (d/dx)^(n-2){(-1)/(x-1)^2+(-1)/(x+1)^2}
= (d/dx)^(n-3){(-1)・(-2)/(x-1)^3+(-1)・(-2)/(x+1)^3}
・
・
= (-1)^(n-1)×(n-1)!×{1/(x-1)^n+1/(x+1)^n}

と計算できます。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2013/06/09 14:55

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/03 20:42

f(x)=log(1-x^2)

f'(x)=-2x/(1-x^2)=1/(x-1)+1/(x+1)
=(x-1)^(-1)+(x+1)^(-1)
f''(x)=(-1)(x-1)^(-2)+(-1)(x+1)^(-2)=(-1){1/(x-1)^2+1/(x+1)^2}
f'''(x)=f^(3)(x)=(-1)(-2){(x-1)^(-3)+(x+1)^(-3)}
=(-1)^2*2!{1/(x-1)^3+1/(x+1)^3}

...

f^(n)(x)={(-1)^(n-1)}(n-1)!{1/(x-1)^n +1/(x+1)^n}

こんな風にやればいいかな？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/06/09 14:55

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/03 19:25

一回微分してみて、それを部分分数分解。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/06/09 14:56