数3の極限の問題です limx→∞ xsin｛log(x+1)－logx｝ の解き方を教えて下さい

数3の極限の問題です
limx→∞ xsin｛log(x+1)－logx｝
の解き方を教えて下さい
答えは １です

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/12/10 17:59

lim x→∞ x・sin｛ log(x+1)ーlogx｝

対数の性質でまとめて

x=1/tとおくとx→∞ならt→0から

=lim t→0【 sin｛ log (1/t+1)/(1/t)｝/ log(1/t+1)/(1/t)】・(1/t)log(1+t)
ここで、lim t→0 sint /t=1 ,xlog a=log a^xより
=lim t→0 log (1+t)^(1+t)
ここで、lim t→0 (1+t)^(1+t)=e …ネイピア数なので、
=lim t→0 log(e)e=1

この回答へのお礼

遅くなってすみません
よくわかりました
ありがとうございます

お礼日時：2017/12/12 15:45

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/12/10 16:01

lim x→∞ x・sin｛ log(x+1)ーlogx｝

対数の性質でまとめて
=lim x→∞【 sin｛ log (x+1)/x｝/ log(x+1)/x 】・xlog(x+1)/x
ここで、lim x→∞ sinx /x=1 ,xlog a=log a^xより
=lim x→∞ log ｛ (x+1)/x｝^x
ここで、lim x→∞ ｛ (x+1)/x｝^x=e …ネイピア数なので、
=lim x→∞ log(e)e=1

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
ひとつわからなかったのですが、limx→∞sinx/xははさみうちの原理より0ではありませんか？間違ってたらすみません…

お礼日時：2017/12/10 16:58