
不定積分∫log(1+x)/x dxが分かりません。教科書(理工系の微分積分学:学術図書出版)を読み漁ったのですが、見つかりませんでした。部分積分と、置換積分を考えてみて計算したのですが、私のやり方では両方うまくいきませんでした。(参考書としては、マセマの微分積分学の本を持っています。)
置換積分:1+x=exp(t)と置換する。(与式)=∫texp(t)/exp(t)-1 dtとなりうまく計算できません。
それともこれは何かでうまくはさんで解くタイプの問題なのでしょうか?(ハサミウチの原理などを利用)
大本の問題は広義積分の問題で、積分区間は、-1→1となっています。
何か知っていることがありましたら、教えてください。よろしくお願いします。
A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.3
- 回答日時:
xの定義域は
1+x>0つまり x>-1
です。
この積分は初等関数の範囲では積分不可能です。つまり解析的には解けません。高校までの数学の範囲では積分不可能(積分できない)というのが正解とされます。
ただし、定義域x>-1では、関数y=log(1+x)/xをプロットしてみていただけば連続関数となりますから数値積分は可能です。
初等関数の範囲では積分結果を表現できませんが
大学レベルの数学の範囲なら
特殊関数のオーダー2の多重対数関数のLi[2](x)
http://wkp.fresheye.com/wikipedia/%E5%A4%9A%E9%8 …
を使えば積分結果が求められます。
-1<x<0の時
I=log(1+x)*log(-x)+Li[2](1+x)+C
x=-1~0の定積分は
∫[-1,0]log(1+x)/xdx=(π^2)/6≒1.64493
x>0の時
I=-Li[2](-x)+C
定積分は上の積分結果の式を使って、xの範囲により分割して積分します。
∫[-1,2]log(1+x)/xdx
=∫[-1,0]log(1+x)/xdx+∫[0,2]log(1+x)/xdx
=(π^2)/6 -Li[2](-2)≒3.08168
となります。
No.2
- 回答日時:
定積分ならば
岩波全書 森口繁一他「数学公式I」1984年 の P241 では
(0→1)∫log(1+x)/x dx=π^2/12
(0→1)∫log(1-x)/x dx=-π^2/6
となっていますので、後者を x = -t と置き、積分範囲を変えて組み合わせれば
(-1→1)∫log(1+x)/x dx=π^2/12 + π^2/6=π^2/4
が得られます。最後の式の検算はお願い致します。
No.1
- 回答日時:
不定積分∫[log(1+x)/x] dxは初等関数では表せないようです。
∫[log(1+x)/x] dx
=logx・log(1+x)+(1+x)+(1+x)^2/4+(1+x)^3/9+・・・+(1+x)^n/n^2+
・・・
分母がxではなく1+xであれば簡単に積分出来る(={log(1+x)}^2/2)のですが・・・、
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 t=tan(x/2)の置換積分について質問です。写真の問題では、(1)でt=tan(x/2)として、 6 2022/11/21 22:59
- 数学 微分積分を理解できない人って脳の作りの問題でしょうか。情報系の大学に進み、微分積分が必須科目なんです 5 2022/07/14 08:40
- 数学 旧帝大の数学は抽象的、例えば微分積分でもf(x)がやたら出てきますが、工業大学の数学は具体的な計算、 5 2022/10/05 16:04
- 数学 微分積分についての問題がわからない です。 3 2022/08/08 15:13
- 数学 微分積分の二重積分についての問題がわからないです 2 2022/08/08 15:19
- 高校 数学III 積分 数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが b=0の時どのように考えれ 4 2022/09/30 02:06
- 数学 「f(x)とg(x)のグラフで囲まれた面積を求めよ」 という積分の面積を求める典型問題がありますが、 7 2023/06/09 01:16
- 物理学 ベクトルと座標系につきまして 1 2022/04/03 06:23
- 数学 paythonを使用した周回積分に関する質問です。 2 2023/02/17 19:09
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:57
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
シグマの問題なのですが。
数学
-
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
数学
-
-
4
広義積分の問題です。。。
数学
-
5
∫{x/(x+1)}dxの解き方
数学
-
6
数学 ∮log(x+1)dx を求める際、通常x+1を持ちいて部分積分をし、 答えが(x+1)log
数学
-
7
関数のグラフでy'''はなにを意味するのですか?
数学
-
8
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
9
3階微分って何がわかるの??
数学
-
10
導体で同心の外球、内球があり内球が接地されています。
その他(自然科学)
-
11
積分 問題
数学
-
12
広義重積分 f(x, y)=1/√(1-xy)
数学
-
13
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
14
lim[x→∞]log(1+x)/x これってどう解けばいいんでしょうか?
数学
-
15
三価クロムイオンに水酸化ナトリウムを加えるとどのような色になりますか?
化学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(x^2)の積分に関して
-
積分の問題
-
e^(-x^2)の積分
-
有限までのガウス積分
-
周曲線の積分記号の意味について
-
ベクトル解析 面積分とは結局何...
-
cosx/xの積分の値について
-
∫xdx/(a^2+x^2)^3/2 これの解放...
-
0の積分
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
exp(e^x)の微分,積分について
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
重積分の範囲について
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
正規分布の式をフーリエ変換す...
-
定積分の方法
-
積分計算のdtとdxの違いがわか...
-
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
-
1/s(s+a)の逆ラプラス変換と1/...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(x^2)の積分に関して
-
0の積分
-
高校の数学で積分できない関数
-
積分の問題
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
exp(ikx)の積分
-
定積分=0という場合、積分され...
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
不定積分∫log(1+x)/x dxが分か...
-
1/x は0から1の範囲で積分でき...
-
数学IIの積分の面積の公式につ...
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
インテグラル∫とdxについて
-
cosx/xの積分の値について
-
この問題のように積分変数でな...
-
e^(-x^2)の積分
-
積分 e^sinx
-
有限までのガウス積分
-
2乗可積分関数とは何でしょうか?
おすすめ情報