円と直線の交差する範囲(重積分)

重積分の範囲が、円の方程式と1次関数になっている場合の考え方をご教授願います。

∬ y dxdy
積分範囲　x^2+ｙ＾2≦4　かつ　y≧2-x

x^2+ｙ＾2≦2^2　より、原点を中心とした半径2の円が考えられます。
極座標でx=rcosθ, y=rsinθとすれば、0≦ｒ≦2 , dxdy=r drdθ

又、ｙ=2-x のグラフは点(0,2)と点(2,0)で円周と接するので、
積分範囲は半径2の円の第一事象の部分

[0≦θ≦π/2かつ0≦ｒ≦2] から　[0≦x≦2かつ0≦ｙ≦2-ｘ]
を引いた範囲が積分範囲と考えて良いのでしょうか？

つまり、∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy
の式に累次積分できるんですかね？

お手数をお掛けいたしますが、ご指導願います。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/02/17 16:18

>∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy

>の式に累次積分できるんですかね？

もちろん、合っています。計算すると 「I=8/3-4/3=4/3」 と正しい結果が得られます。

普通は、どちらか一方の座標系の累次積分（逐次積分ともいう）で表して積分します。

xy座標による累次積分で表す方法

I=∫[0→2] dx∫[(2-x)→√(4-x^2)] ydy
=∫[0→2] {[y^2/2](y=√(4-x^2))-[y^2/2](y=2-x)} dx
=∫[0→2] {(4-x^2)/2-(2-x)^2/2} dx
=(1/2)∫[0→2] {(4-x^2)-(2-x)^2} dx
=(1/2)∫[0→2] {(4-x^2)-(4-4x+x^2)} dx
=(1/2)∫[0→2] (4x-2x^2) dx
=∫[0→2] (2x-x^2) dx
=[x^2-x^3/3] (x=2)
=4-8/3=4/3

極座標による累次積分で現す方法

y=2-x→rsinθ=2-rcosθ→r=2/(sinθ+cosθ) なので

I=∫[0→π/2] dθ∫[2/(sinθ+cosθ)→2] rsinθ*rdr
=∫[0→π/2] sinθ{[r^3/3](r=2)-[r^3/3](r=2/(sinθ+cosθ))} dθ
=(1/3)∫[0→π/2] sinθ{8 -8/(sinθ+cosθ)^3} dθ
=(8/3)∫[0→π/2] {sinθ -sinθ/(√2sin(θ+π/4))^3} dθ
= … (途中計算略)
=(8/3){1-(1/2)}
=4/3

この回答へのお礼

すごくわかりやすいご解説、ありがとう御座います。
”解析学のまとめノート”に書き写させていただきます！

お礼日時：2011/02/17 23:25

No.1 回答者： WiredLogic 回答日時： 2011/02/17 15:30

考え方は、そういうことで問題ないと思いますが…

実際の計算は、積分範囲が、0≦x≦2, 2-x≦y≦√(4-x^2) になり、
幸い、被積分関数が y で、積分すると、y^2/2 ですから、

素直に、∫[0,2]dx ∫[2-x, √(4-x^2)] ydy とやっても、計算は簡単で、

極座標変換する場合も、、

∫[0,2]dx ∫[2-x, √(4-x^2)] ydy
= ∫[0,2]dx ∫[0, √(4-x^2)] ydy - ∫[0,2]dx ∫[0,2-x] ydy
と分けてから、前の方だけを極座標変換、とやれば、疑問感じる余地が少なくなりそうです。

この回答へのお礼

先日に続き、お世話になります。

さっそく教えていただいた解法を試してみます！

お礼日時：2011/02/17 23:21