(1/x)sin(1/x)のリーマン、ルベーグ積分

こんにちは。
早速ですが、上記の関数(1/x)sin(1/x)は[0,1]で広義リーマン積分可能だが、ルベーグ積分可能でないということを聞きました。
そこで、まず１、広義リーマン積分可能なこと　２、ルベーグ積分不可能なこと　を示したいのですが、うまく示せません。
１については(1/x)sin(1/x)≦1/x　としても右辺が可積分ではありませんし、困っています。
２については見当がつかない状態です。
どなたかご教授宜しくお願いします。

No.1 回答者： ramayana 回答日時： 2012/05/20 09:01

（リーマン積分とルベーグ積分の違い）

関数f(x)を積分することを考えます。f(x)の正の部分をg(x)、負の部分をh(x)とします：

g(x)= f(x) if f(x)>0、g(x)=0 if f(x)≦0
h(x)=- f(x) if f(x)<0、h(x)=0 if f(x)≧0

ルベーグ積分においては、g(x)とh(x)の両方が積分可能なときにf(x)が積分可能とされて、

「f(x)の積分」＝「g(x)の積分」-「h(x)の積分」

とされます。

ところで、g(x)とh(x)の積分がそれぞれ単独では収束しなくても、プラスとマイナスがうまく打ち消しあって、f(x)の積分が収束することがあります。ご質問のケースがそれにあたるのですが、そういうケースでは、リーマン積分が可能だけどルベーグ積分が不可能、ということになります。

（ご質問のケース）

説明の都合上、t=1/xの変数変換をして、f(t)=(1/t)sin(t)の[1,∞)での積分とします。

リーマン積分が可能なことについては、[1,a]の積分がa→∞で収束することを言えばいいです。添付図のように積分区間をsinの周期の2πずつで区切って、その間の積分をI1、I2、…、Inとします。また、両端の半端な部分の積分をそれぞれ、A、B(a)とします。次の[1]と[2]を示すことにより、積分が収束することが証明でます。

[1]　　n→∞のときI1+I2+…+Inが収束
[2]　　a→∞のときB(a)が収束

ルベーグ積分が不可能なことについては、f(t)の正の部分g(t)の減少のスピードが関数1/tとほぼ同程度であることと、1/tの[1,a]の積分がa→∞で発散することを使えば、証明できます。