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No.1
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(リーマン積分とルベーグ積分の違い)
関数f(x)を積分することを考えます。f(x)の正の部分をg(x)、負の部分をh(x)とします:
g(x)= f(x) if f(x)>0、g(x)=0 if f(x)≦0
h(x)=- f(x) if f(x)<0、h(x)=0 if f(x)≧0
ルベーグ積分においては、g(x)とh(x)の両方が積分可能なときにf(x)が積分可能とされて、
「f(x)の積分」=「g(x)の積分」-「h(x)の積分」
とされます。
ところで、g(x)とh(x)の積分がそれぞれ単独では収束しなくても、プラスとマイナスがうまく打ち消しあって、f(x)の積分が収束することがあります。ご質問のケースがそれにあたるのですが、そういうケースでは、リーマン積分が可能だけどルベーグ積分が不可能、ということになります。
(ご質問のケース)
説明の都合上、t=1/xの変数変換をして、f(t)=(1/t)sin(t)の[1,∞)での積分とします。
リーマン積分が可能なことについては、[1,a]の積分がa→∞で収束することを言えばいいです。添付図のように積分区間をsinの周期の2πずつで区切って、その間の積分をI1、I2、…、Inとします。また、両端の半端な部分の積分をそれぞれ、A、B(a)とします。次の[1]と[2]を示すことにより、積分が収束することが証明でます。
[1] n→∞のときI1+I2+…+Inが収束
[2] a→∞のときB(a)が収束
ルベーグ積分が不可能なことについては、f(t)の正の部分g(t)の減少のスピードが関数1/tとほぼ同程度であることと、1/tの[1,a]の積分がa→∞で発散することを使えば、証明できます。
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