広義積分が収束することを証明する問題です。 ∫［0→+∞］(sin1/x)/√xdt ご回答よろしく

広義積分が収束することを証明する問題です。
∫［0→+∞］(sin1/x)/√xdt
ご回答よろしくお願いします。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/21 18:22

積分を0から1と1から＋∞にわける

0から1については、
|(sin1/x)/√x|≦1/√xより
|(sin1/x)/√x|の0から1の積分は1/√xの0から1の積分＝2をこえないから
(sin1/x)/√xの0から1の積分は絶対収束する。
1から+∞については
(sin1/x)/√x＝(xsin1/x)/(x√x)と書きかえれば
x→+∞のときxsin1/x→1だからxsin1/xはx≧1で有界つまり
x≧1で|xsin1/x|≦M、Mは定数　としてよい
したがってx≧1のとき
|(sin1/x)/√x|≦M/(x√x)で右辺の1から+∞の積分は収束するから
(sin1/x)/√xの1から＋∞の積分も絶対収束
∴問題の積分は収束です（絶対収束）