大学の解析学の問題です。 ∮［0→1］2xdxをリーマン積分の定義に従って求めよ という問題がわから

大学の解析学の問題です。

∮［0→1］2xdxをリーマン積分の定義に従って求めよ

という問題がわからないです。
任意の分割に対して下限和の上限と上限和の下限が等しいとき、それが積分となることは理解しているのですが、正直具体的な問題と結びつけられませんでした。

ご回答お願いします。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/22 09:21

むしろ、リーマン積分の定義に従って

閉区間上の連続関数の積分が収束することの証明を書いてしまえば？
その後は、上限和と下限和を比較しなくても
高校で習った区分求積法で済んでしまう。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/22 02:27

#3さんの言うように、「リーマン和の下限=リーマン和の上限」を

示しても、「それが積分となる」とは言えない。

しかし、「リーマン積分の定義」にしたがってだから、「この定義」
で収束すること、つまり、「この定義」が意味をもつことの証明じゃ
ない。

だから、「どんな分割であろうと、積分になる」ことを使って、#2
さんの計算のどちらかを示せばよい。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/21 22:26

いや、どんな分割でも同じ値へ収束することを示さにゃいかんのよ。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/21 20:51

f(x)=2x

[0,1]のn等分割を考える
Δx=1/n
k=0～n
x(k)=k/n
k/n≦x≦(k+1)/n
2k/n≦2x≦2(k+1)/n
f(x(k))≦f(x)≦f(x(k+1))

lim_{n→∞}Σ_{k=0～n-1}f(x(k))Δx≦∫_{0～1}f(x)dx≦lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}f(x(k))Δx

lim_{n→∞}Σ_{k=1～n-1}(2k/n)(1/n)≦∫_{0～1}(2x)dx≦lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}(2k/n)(1/n)

lim_{n→∞}{1-(1/n)}≦∫_{0～1}(2x)dx≦lim_{n→∞}{1+(1/n)}

1≦∫_{0～1}(2x)dx≦1

∴
∫_{0～1}(2x)dx=1