
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
NO1の者です。
No2様ご指摘のように,誤っていました m( )m部分積分のところから???でした。
∫logx/x^a dx
=∫x^(-a)・log(x) dx
=x^(1-a)/(1-a)・log(x)-∫x^(-a)/(1-a)dx
=x^(1-a)/(1-a)・log(x)-x^(1-a)/(1-a)^2
=x^(1-a)/(1-a)^2・{(1-a)log(x)-1}
よって、
I=0-1/(1-a)・lim[x→0]x^(1-a)log(x)-1/(1-a)^2
=-1/(1-a)・lim[x→0]x^(1-a)log(x)-1/(1-a)^2
A=lim[x→0]x^(1-a)log(x)=lim[x→0]{log(x)/x^(a-1)} は、
分子→-∞で、
分母は、a<1のとき分母→+∞、a>1のとき分母→+0
よって、まずa>1のときA→-∞ 即ちI→-∞(発散)
次にa<1のときロピタルの定理を用い,
A=lim[x→+0]{(1/x)/((a-1)x^(a-2))}
=-lim[x→+0]{x^(1-a)/(1-a)}=0
即ちI=-1/(1-a)・0-1/(1-a)^2=-1/(1-a)^2
No.2
- 回答日時:
収束する場合の積分を当方が計算すると・・・、
∫(0,1)logx/x^a dx = -1/(1-a)^2
・・・となるのだが・・!?
No.1
- 回答日時:
部分積分迄はOKかと。
広義積分なので、x=0のところは、x→0を考えます。
積分I=1/(-a+1)[(logx-1)/x^(a-1)](0~1)
=1/(-a+1)[-1-lim[x→+0]{(logx-1)/x^(a-1)}]
A=lim[x→+0]{(logx-1)/x^(a-1)}は、
分子→-∞で、
分母は、a<1のとき分母→+∞、a>1のとき分母→+0
よって、
まずa>1のときA→-∞ 即ちI→-∞(発散)
次にa<1のときロピタルの定理を用い、
A=lim[x→+0]{(1/x)/((a-1)x^(a-2))}
=-lim[x→+0]{x^(1-a)/(1-a)}=0
即ちI=1/(1-a)
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