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広義積分の問題です。。。
∫(0~1)logx/x^a dx (ただしaは実数でa≠1)を求める問題です。

部分積分して1/(-a+1)[(logx-1)/x^(a-1)](0~1)
というところまでいき
a<1とa>1にして考えましたが
∞×0が出てきてしまい八方塞がりな状況です。
教えていただけると嬉しいです。

A 回答 (3件)

NO1の者です。

No2様ご指摘のように,誤っていました m( )m
部分積分のところから???でした。

∫logx/x^a dx
=∫x^(-a)・log(x) dx
=x^(1-a)/(1-a)・log(x)-∫x^(-a)/(1-a)dx
=x^(1-a)/(1-a)・log(x)-x^(1-a)/(1-a)^2
=x^(1-a)/(1-a)^2・{(1-a)log(x)-1}

よって、
I=0-1/(1-a)・lim[x→0]x^(1-a)log(x)-1/(1-a)^2
=-1/(1-a)・lim[x→0]x^(1-a)log(x)-1/(1-a)^2

A=lim[x→0]x^(1-a)log(x)=lim[x→0]{log(x)/x^(a-1)} は、
分子→-∞で、
分母は、a<1のとき分母→+∞、a>1のとき分母→+0

よって、まずa>1のときA→-∞ 即ちI→-∞(発散)
次にa<1のときロピタルの定理を用い,
A=lim[x→+0]{(1/x)/((a-1)x^(a-2))}
=-lim[x→+0]{x^(1-a)/(1-a)}=0
即ちI=-1/(1-a)・0-1/(1-a)^2=-1/(1-a)^2
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。
よくわかりました。

お礼日時:2010/06/24 14:27

収束する場合の積分を当方が計算すると・・・、


∫(0,1)logx/x^a dx = -1/(1-a)^2
・・・となるのだが・・!?
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この回答へのお礼

お気づきの点ありがとうございました。
助かりました。

お礼日時:2010/06/24 14:28

部分積分迄はOKかと。

広義積分なので、x=0のところは、
x→0を考えます。

積分I=1/(-a+1)[(logx-1)/x^(a-1)](0~1)
=1/(-a+1)[-1-lim[x→+0]{(logx-1)/x^(a-1)}]

A=lim[x→+0]{(logx-1)/x^(a-1)}は、
分子→-∞で、
分母は、a<1のとき分母→+∞、a>1のとき分母→+0

よって、
まずa>1のときA→-∞ 即ちI→-∞(発散)
次にa<1のときロピタルの定理を用い、
A=lim[x→+0]{(1/x)/((a-1)x^(a-2))}
=-lim[x→+0]{x^(1-a)/(1-a)}=0
即ちI=1/(1-a)
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この回答へのお礼

訂正解説までご丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2010/06/24 14:29

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