広義重積分 f(x, y)=1/√(1-xy)

D={(x,y)|0≦y≦x<1}, f(x, y)=1/√(1-xy)

これの解き方がわかりません。

積分範囲を
[0, x]*[0,x-(1/n)]
にしてやってみましたが、
これだと発散してしまいました。

u=xy, v=y/x
として変数変換も考えてみましたが
ヤコビアンを考えるとうまくできませんでした。

どのように計算すればよいでしょうか。。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/12/03 16:24

>積分範囲を

>[0, x]*[0,x-(1/n)]
>にしてやってみましたが
>これだと発散してしまいました。
積分範囲が間違ってるでしょう。
正しい積分範囲で積分すれば発散しませんよ。

I=∬[D] 1/√(1-xy) dxdy
=∫[0,1]{∫[0,x] 1/√(1-xy) dy}dx
=∫[0,1]{[-(2/x)√(1-xy)][y:0,x]}dx
=∫[0,1] (2/x){1-√(1-x^2)}dx
= lim[x→1][2-2√(1-x^2)+2log{1+√(1-x^2)}]
-[2-2√(1-x^2)+2log{1+√(1-x^2)}]|(x=0)
= 2-(2-2+2log2)
= 2-2log2

この回答への補足

Xの範囲が
0≦x≦1になっていますが
1を含んでもいいのですか？

補足日時：2011/12/03 16:33

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/12/03 17:55

#2です。

A#2の補足質問の回答

> xの範囲が
> 0≦x≦1になっていますが
> 1を含んでもいいのですか？


含んでいませんよ。
D={(x,y)| 0≦y≦x<1}
>I= lim[x→1-0] [2-2√(1-x^2)+2log{1+√(1-x^2)}]
> -[2-2√(1-x^2)+2log{1+√(1-x^2)}]|(x=0)
と積分した原始関数のxには1を代入するのではなく x→1-0　と極限を
とってやれば良いですよ（実質はx=1を代入した時と同じ値になるにしてもです）。
そうすると
> = 2-(2-2+2log2)
> = 2-2log2
と積分の計算が完結します。

この回答へのお礼

単純なことを勘違いしてわかっていませんでした。
よく理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/12/03 21:31

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/12/03 17:38

[0,x]＊[0,x-(1/n)] じゃ、y≦x をはみ出してしまうでしょ。

広義積分なんだから、未定義端では極限をとって、
0≦y≦x≦u での積分を u→1-0 すればよいです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2011/12/03 21:31

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2011/12/03 15:31

良いんでないの・・・！？

当方も積分計算を実行すると対数が出てきちまうんで、定積分の下限値0によって
→ +∞ に発散する！

この回答への補足

ですよね。。
私もそうなりました。

先生が作ってくださった演習用問題なのですが、
問題が “広義積分を求めよ” で、
しかも他の問題はすべて収束したので、不安に思っています。

補足日時：2011/12/03 15:49