
不定積分∫log(1+x)/x dxが分かりません。教科書(理工系の微分積分学:学術図書出版)を読み漁ったのですが、見つかりませんでした。部分積分と、置換積分を考えてみて計算したのですが、私のやり方では両方うまくいきませんでした。(参考書としては、マセマの微分積分学の本を持っています。)
置換積分:1+x=exp(t)と置換する。(与式)=∫texp(t)/exp(t)-1 dtとなりうまく計算できません。
それともこれは何かでうまくはさんで解くタイプの問題なのでしょうか?(ハサミウチの原理などを利用)
大本の問題は広義積分の問題で、積分区間は、-1→1となっています。
何か知っていることがありましたら、教えてください。よろしくお願いします。
A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.3
- 回答日時:
xの定義域は
1+x>0つまり x>-1
です。
この積分は初等関数の範囲では積分不可能です。つまり解析的には解けません。高校までの数学の範囲では積分不可能(積分できない)というのが正解とされます。
ただし、定義域x>-1では、関数y=log(1+x)/xをプロットしてみていただけば連続関数となりますから数値積分は可能です。
初等関数の範囲では積分結果を表現できませんが
大学レベルの数学の範囲なら
特殊関数のオーダー2の多重対数関数のLi[2](x)
http://wkp.fresheye.com/wikipedia/%E5%A4%9A%E9%8 …
を使えば積分結果が求められます。
-1<x<0の時
I=log(1+x)*log(-x)+Li[2](1+x)+C
x=-1~0の定積分は
∫[-1,0]log(1+x)/xdx=(π^2)/6≒1.64493
x>0の時
I=-Li[2](-x)+C
定積分は上の積分結果の式を使って、xの範囲により分割して積分します。
∫[-1,2]log(1+x)/xdx
=∫[-1,0]log(1+x)/xdx+∫[0,2]log(1+x)/xdx
=(π^2)/6 -Li[2](-2)≒3.08168
となります。
No.2
- 回答日時:
定積分ならば
岩波全書 森口繁一他「数学公式I」1984年 の P241 では
(0→1)∫log(1+x)/x dx=π^2/12
(0→1)∫log(1-x)/x dx=-π^2/6
となっていますので、後者を x = -t と置き、積分範囲を変えて組み合わせれば
(-1→1)∫log(1+x)/x dx=π^2/12 + π^2/6=π^2/4
が得られます。最後の式の検算はお願い致します。
No.1
- 回答日時:
不定積分∫[log(1+x)/x] dxは初等関数では表せないようです。
∫[log(1+x)/x] dx
=logx・log(1+x)+(1+x)+(1+x)^2/4+(1+x)^3/9+・・・+(1+x)^n/n^2+
・・・
分母がxではなく1+xであれば簡単に積分出来る(={log(1+x)}^2/2)のですが・・・、
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
プロが教えるわが家の防犯対策術!
ホームセキュリティのプロが、家庭の防犯対策を真剣に考える 2組のご夫婦へ実際の防犯対策術をご紹介!どうすれば家と家族を守れるのかを教えます!
-
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
数学
-
数学IIIのlogの積分
数学
-
4
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
5
lim[x→∞]log(1+x)/x これってどう解けばいいんでしょうか?
数学
-
6
数(3)・不定積分 : log(x+2)、log(1-x)の積分の仕方
数学
-
7
e^-2xの積分
数学
-
8
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
9
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+Cの証明で
数学
-
10
写真の問題で1/1-yの積分と1/1-xの積分がlog|1-y|、log|1-x|になる理由が分かり
数学
-
11
不定積分∫√[x(x+1)] dx の問題についておしえてください。
数学
-
12
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
その他(教育・科学・学問)
-
13
円柱と球面の囲まれる部分の体積曲面積を求める問題で
数学
-
14
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
数学
-
15
X線のKαって何を意味するのでしょう?
物理学
-
16
∫log sinx dxや∫log cosx dx のやり方
数学
-
17
e^(-x^2)の積分
数学
-
18
∫[2、∞] dx/logx の発散・収束の判定
数学
-
19
log(1+x)の微分
数学
-
20
無限級数Σ(n=1~∞)(n/n^2+1)の収束・発散
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
人気Q&Aランキング
-
4
0の積分
-
5
e^(ax)の微分と積分
-
6
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
-
7
高校の数学で積分できない関数
-
8
写真の問題で1/1-yの積分と1/1-...
-
9
積分 e^sinx
-
10
積分計算のdtとdxの違いがわか...
-
11
積分のパソコン上のの表し方...
-
12
cosx/xの積分の値について
-
13
置換積分と部分積分の使い分け...
-
14
超関数の証明
-
15
微分積分の現代生活での使われ方
-
16
exp(ikx)の積分
-
17
不定積分∫√[x(x+1)] dx の問題...
-
18
exp(e^x)の微分,積分について
-
19
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
20
数学IIの積分の面積の公式につ...
おすすめ情報
公式facebook
公式twitter