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不定積分∫log(1+x)/x dxが分かりません。教科書(理工系の微分積分学:学術図書出版)を読み漁ったのですが、見つかりませんでした。部分積分と、置換積分を考えてみて計算したのですが、私のやり方では両方うまくいきませんでした。(参考書としては、マセマの微分積分学の本を持っています。)

置換積分:1+x=exp(t)と置換する。(与式)=∫texp(t)/exp(t)-1 dtとなりうまく計算できません。

それともこれは何かでうまくはさんで解くタイプの問題なのでしょうか?(ハサミウチの原理などを利用)

大本の問題は広義積分の問題で、積分区間は、-1→1となっています。
何か知っていることがありましたら、教えてください。よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

xの定義域は


1+x>0つまり x>-1
です。
この積分は初等関数の範囲では積分不可能です。つまり解析的には解けません。高校までの数学の範囲では積分不可能(積分できない)というのが正解とされます。
ただし、定義域x>-1では、関数y=log(1+x)/xをプロットしてみていただけば連続関数となりますから数値積分は可能です。
初等関数の範囲では積分結果を表現できませんが
大学レベルの数学の範囲なら
特殊関数のオーダー2の多重対数関数のLi[2](x)
http://wkp.fresheye.com/wikipedia/%E5%A4%9A%E9%8 …
を使えば積分結果が求められます。

-1<x<0の時
I=log(1+x)*log(-x)+Li[2](1+x)+C
x=-1~0の定積分は
∫[-1,0]log(1+x)/xdx=(π^2)/6≒1.64493

x>0の時
I=-Li[2](-x)+C

定積分は上の積分結果の式を使って、xの範囲により分割して積分します。
∫[-1,2]log(1+x)/xdx
=∫[-1,0]log(1+x)/xdx+∫[0,2]log(1+x)/xdx
=(π^2)/6 -Li[2](-2)≒3.08168
となります。
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定積分ならば


岩波全書 森口繁一他「数学公式I」1984年 の P241 では

(0→1)∫log(1+x)/x dx=π^2/12
(0→1)∫log(1-x)/x dx=-π^2/6

となっていますので、後者を x = -t と置き、積分範囲を変えて組み合わせれば

(-1→1)∫log(1+x)/x dx=π^2/12 + π^2/6=π^2/4

が得られます。最後の式の検算はお願い致します。
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不定積分∫[log(1+x)/x] dxは初等関数では表せないようです。



∫[log(1+x)/x] dx
=logx・log(1+x)+(1+x)+(1+x)^2/4+(1+x)^3/9+・・・+(1+x)^n/n^2+
・・・
分母がxではなく1+xであれば簡単に積分出来る(={log(1+x)}^2/2)のですが・・・、
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