数学 同値変形 exist(x, y)[(x+y=2t+4)かつ(xy=9)] ⇔tの範囲 なのです

数学　同値変形
exist(x, y)[(x+y=2t+4)かつ(xy=9)]
⇔tの範囲

なのですが、tの範囲が求まりません。
解説をよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/08 13:12

xy=9

x+y=2t+4
↓両辺に-xを加えると
y=2t+4-x
↓これを9=xyに代入すると
9=x(2t+4-x)
↓両辺にx{x-(2t+4)}-9を加えると
x{x-(2t+4)}=-9
x^2-(2t+4)x=-9
x^2-2(t+2)x=-9
↓両辺に(t+2)^2を加えると
x^2-2(t+2)x+(t+2)^2=(t+2)^2-9
{x-(t+2)}^2=t^2+4t-5
(x-t-2)^2=t^2+4t-5
(x-t-2)^2=(t+5)(t-1)
↓0≦(x-t-2)^2だから
0≦(t+5)(t-1)
∴
t≦-5 or t≧1

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/08 00:38

x,y≠0

　2t+4=x+9/x
AM-GM不等式から
x>0 → 2t+4≧2√9=6 → t≧1
x<0 → -(2t+4)=≧-x+9/(-x)≧2√9=6 → t≦-5

したっがって
　t≧1 or t≦-5