線形代数学です！ 2番がわかりません！ p＾-1A＾np のやりかたでお願いします！

線形代数学です！

2番がわかりません！

p＾-1A＾np

のやりかたでお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/17 03:07

「p＾-1A＾np のやりかたで」というからには、

それを習ったことがあるんですよね？
そのとき言われた手順を忠実に行えばよいです。

まず、A の固有値と固有ベクトルを求めます。
固有値とは、0でないベクトル x で Ax=λx を
満たすものが存在するようなスカラー λ のこと。
また、このときの x を固有値 λ に属する
固有ベクトルと言います。
A と同次元の単位行列を E として、
λ が A の固有ベクトルであるための条件は
det(A-λE)=0 になりますから、質問の例では
(λ-3)(λ+2)=0 です。固有値は、λ = 3, -2.
λ = 3 に属する固有ベクトルは、
(A-3E)x=0 を解いて x // (3 1)^T.
x1 = (3 1)^T と置きます。
λ = -2 に属する固有ベクトルは、
(A+2E)x=0 を解いて x // (2 1)^T.
x2 = (2 1)^T と置きます。
推測ですが、ここまでが問題 1.(1) だったのでは
ないでしょうか。写真に同じ行列が見えています。

列ベクトル x1, x2 をそれぞれ第1列,第2列に並べた
行列を P と置くと、A(x1)=3(x1), A(x2)=-2(x2) より
AP=PΛ となります。Λ は 3, -2 を対角要素に
持つ対角行列です。この先がギミックなのですが、
A^n = (PΛ(P^-1))^n
= PΛ(P^-1)PΛ(P^-1)…PΛ(P^-1)
= P(Λ^n)(P^-1)　となります。
式中の (P^-1)P が E になって消えるからです。
P の成分がわかっているから P^-1 も求められるし、
Λ が対角行列なので Λ^n は簡単ですね。
実行すると、
P =
　　3　　2
　　1　　1
P^-1 =
　　1　　-2
　　-1　　3
Λ^n =
　　3^n　　0
　　0　　　(-2)^n
より
A^n =
　　3(3^n)-2(-2)^n　　-6(3^n)+6(-2)^n
　　(3^n)-(-2)^n　　　-2(3^n)+3(-2)^n

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/16 14:50

まず固有値とそれに対する固有ベクトルを求めたら？