画像の赤い下線部の式はtanθをローラン展開したもので、青い下線部の式はtanθをテイラー展開したも

画像の赤い下線部の式はtanθをローラン展開したもので、青い下線部の式はtanθをテイラー展開したものなのですが、この二つの式は同じ式なのでしょうか？

また、仮に同じ式ならば赤い下線部の式のaが0の時は緑の下線部の式になるのでしょうか？

また、仮にθがπ/2より大きい、π/2<θの場合は赤、青、緑の下線部の式に変化はあるのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 以前頂いた解答の画像に関して
  ii)r>2に関してn≦-2かn≧-1かはわからないのですが、
  a(n)が0ではないため、
  多分n≦-2の時のa(n)=1/(-2)^(n+2)だと思うのですが、
  画像の赤い下線部の式とa(n)=1/(-2)^(n+2)は同じ式なのでしょうか？
  
  もう一つ、
  ii)r>2の時、n≧-1でz=1の時にn+2位に極を持ち、
  g(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使い、a(n)=1/(-2)^(n+2)を求めようとしたのですが、
  aの時はnを使ったので、bの時はmを使い、b(m-k)=(1/m!)lim_{z→c}(d/dz)^m{f(z)(z-c)^k}にk=n+2を代入して、a(n)=1/(-2)^(n+2)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/14 13:09

• 質問が二つあります。
  1.画像の
  f(z)=1/(z^2-1)
  i)0<r<2かつn≧-1、z=1で1位の極を持つ時、
  a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使っていますが、
  2枚目の画像のa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使った計算のように
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzとした場合から-1/(-2)^(n+2)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/14 13:42

• 続きです。
  こちらに2枚目の画像を貼ります。
  
  2.
  1枚目の画像のa(n)はa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}ですが
  f(z)=1/(z^2-1)として、
  i)0<r<2かつn≧-1、z=1で1位の極を持つ時、
  なぜres(f(z),1)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)から-1/(-2)^(n+2)は導けないのでしょうか？
  
  仮に使えるならばres(f(z),1)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)から-1/(-2)^(n+2)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/14 13:45

• 1枚目(こちら)の画像のa(n)はa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}ですが
  f(z)=1/(z^2-1)として、
  i)0<r<2かつn≧-1、z=1で1位の極を持つ時、
  なぜres(f(z),1)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)から-1/(-2)^(n+2)は導けないのでしょうか？
  
  仮に使えるならばres(f(z),1)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)から-1/(-2)^(n+2)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/14 18:07

• 「以前頂いた解答の画像に関して
  ii)r>2に関してn≦-2かn≧-1かはわからないのですが、
  a(n)が0ではないため、
  多分n≦-2の時のa(n)=1/(-2)^(n+2)だと思うのですが、
  画像の赤い下線部の式とa(n)=1/(-2)^(n+2)は同じ式なのでしょうか？」
  や
  「元の式
  Σ_{n=0～∞}{{(-1)^n}2^(n+1)}/(z-1)^(n+2)
  が
  間違っていた為、
  間違った式
  a(n)={(-1)^(-n)}2^(-n-1)
  を導いてしまったのです」
  関して、
  
  画像の緑から赤、赤から青にかけて、間違っている部分はありますでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/14 20:41

• こちらの質問に対する回答も消されてしまい、もう一度回答を頂きたいです。
  質問内容
  「赤い下線部はg(z)=1/(z^2-1)で正しいでしょうか？
  また、青い下線部の式はb(k)と置いていますが、bをa、mをnに置き換えてa(n)としても問題ないと思うのですが、正しいでしょうか？」

  
    補足日時：2022/08/16 05:41

• 5.画像において、a(n)の式は間違っているとのことですが、間違っているにしてもどうやって赤い下線部の式を導いたのでしょうか？
  
  6. 2022.8.14 19:50に頂いた解答についてなのですが、
  「f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n…(1)
  ...
  Res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){(z-1)f(z)}」
  
  a(n)は(2)から求めているため、計算過程で登場する
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzはなくても良いと思ったのですが、なぜa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzは必要なのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/16 13:21

• 度々申し訳ありません。
  質問12
  tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn+2位の時に極を持つのに、なぜ画像の下線部のようにk=n+2ではなく、k=n+1とおいたのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/17 17:20

• 解答ありがとうございます。
  
  「0<r<2の時、
  
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
  n≦-2の時
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  g(z)=(z-1)^(n+2)/(z+1)
  は
  |z-1|<rに極を持たないから」
  に関して、|z-1|<rの時、z=-1の時、
  z→-1
  |z-1|<rは|1.01-1|<rで、例えばr≒0.01となるとして、0<r<2の範囲を満たしますが、mtrajcp様は|z-1|<rに極を持たないとの事ですが、私は何を間違っているのでしょうか？
  また、
  2022.8.18 04:07の
  「質問10
  0<r<2...
  になる事とは直接関係はありません」
  に関する補足に書いた私の返答は正しいでしょうか？
  
  質問21
  極がない場合あるいは極があってもg(z)が収束する場合はa(n)=0となるのでしょうか？

    補足日時：2022/08/19 22:52

• ありがとうございます。
  あの画像に関しては正しいでしょうか？
  
  違う場合は正しい解説をお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/20 15:56

No.36 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/20 17:02

i)

f(z)=1/(z^2-1)
0<|z-1|<2
0<r<2
C={z;|z-1|=r}
でのローラン展開を
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
とすると
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
となる
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
とすると
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

n≦-2の時
-n-2≧0
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)

n=-2の時
g(z)=(z-1)^(0)/(z+1)=1/(z+1)
lim_{z→1}g(z)=1/2
に収束するから
g(1)=1/2
と定義できるから
z=1は極でない

n<-2の時
lim_{z→1}g(z)=0
に収束するから
g(1)=0
と定義できるから
z=1は極でない

z=-1は|z-1|<2に反するからz=-1も極でない

g(z)はCで囲まれた|z-1|<2で正則だから
そのCでの積分は0
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=0
となるから
a(n)=0

No.37 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/20 17:21

＞ g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)は

＞ z→1の時、分子が0になるため収束する。
＞ 故にz=1は極に入らない。

「分子」って何や？
-n-2 > 0 なら lim[z→1] g(z) = 0 だが、
-n-2 = 0 のとき lim[z→1] g(z) = 1/2 だし
-ｎ-2 < 0 のとき z = 1 は g(z) の n+2 位の極になっている。

No.35 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/20 05:43

n≦-2の時、

0<r<2の時、
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
n+2≦0
-n-2≧0
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
だから
z→1の時
g(z)は収束するから
z=1の時に極を持たない

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)は
z→1の時、分子が0になるため収束する。
故にz=1は極に入らない。

z=1の時は0<r<2に反するからz=1もない。

z=1とz=-1はお互いに違う理由で無いため。
その為a(n)=0という事でしょうか？

お礼日時：2022/08/20 07:24

No.34 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/20 03:52

質問10

0<r<2の時、
|z-1|<rの時、
z=1とすることはできません
z→-1とすることはできません
zは-1に近づけません

1.01と-1の距離は
|1.01-(-1)|=|1.01+1|=2.01>2
だから
1.01は　-1には近くはありません

-1に近いのは
-1.01
です
|z-1|<r
で
z=-1.01
とすると
r>|-1.01-1|=|1.01+1|=2.01>2>r
と矛盾する

この回答へのお礼

ありがとうございます。

n≦-2の時、
0<r<2の時、
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}が極を持つとしたらz=-1であるが、
|z-1|<rの時、
z→-1
|z-1|<rは|-1.01-1|<rで
=|-1.01-1|=2.01となり0<r<2の範囲に反する為、
z=-1は無い。

ですが、z=1としてz→1とすると
|z-1|<rは|1.01-1|<rで
=|1.01-1|=0.01となり0<r<2の範囲に入る為、
z=1の時に極を持つが、
a(n)=0という事で正しいでしょうか？

もし正しい場合は
出来ればa(n)の式が収束できて積分できるから、
コーシーの定理によりa(n)=0となるではなく、
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}}dzが0になるまでの過程の式を教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/08/20 05:15

No.33 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/18 04:07

質問10

0<r<2
の時
f(z)=1/(z^2-1)は
|z-1|<rにz=1の極を持つけれども
それは
n≦-2の時a(n)=0
になる事とは直接関係はありません

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
n≦-2の時
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
g(z)=(z-1)^(n+2)/(z+1)
は
|z-1|<rに極を持たないから
g(z)は正則だからその積分は0
∫_{C}g(z)dz=0
になるから
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=0
a(n)=0

この回答へのお礼

ありがとうございます。

g(z)=(z-1)^(n+2)/(z+1)はz→-1で極を持ちますが、0<|z-1|<2(や|z-1|<r)にz→1を入れると矛盾するため、極を持たないと言える。
故に、g(z)は正則だからその積分は0
∫_{C}g(z)dz=0
になるから
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=0
a(n)=0となるのはわかりました。

ただ、「0<r<2
の時
f(z)=1/(z^2-1)は
|z-1|<rにz=1の極を持つけれども
それは
n≦-2の時a(n)=0
になる事とは直接関係はありません」において、
f(z)=1/(z^2-1)は
|z-1|<rにz=1の極を持つけれども
それは
n≦-2の時a(n)=0
になる事とは直接関係とはどういう意味なのでしょうか？
要は、幾つもの過去の計算でa(n)を求める時は
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{○}dzのres(○,a)の○の部分をf(z)(ややこしくならないようにg(z)と置くこともあるが)としてa(n)を求めてきており、f(z)=1/(z^2-1)は○の部分ではないため使ってない。関係ない。
実際にa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{○}dzの式の{ }の○の中に代入するのはf(z)/(z-1)^(n+1)であるため、f(z)=1/(z^2-1)が0<r<2(や|z-1|<r)に置いて、z=1の極を持っていても、a(n)の式に代入するのはf(z)/(z-1)^(n+1)なのだから関係はないという事ですか？

また、質問11の「質問者さんからのお礼」に書いた二つの質問に答えていただけると助かります。

お礼日時：2022/08/18 05:03

No.32 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/17 20:35

質問11

ii)の場合のa(n)の求め方は以下の通り(それ以外の方法は認めません)
------------------------
(ローラン公式1)
g(z)が
z=c でk位の極を持ち
0<|z-c|<Rで正則な時
0<|z-c|<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m

b(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}…(1)
となる
-------------------------
(ローラン公式2)
g(z)が
z=c でk位の極を持ち
0<|z-c|=r<Rで正則な時
0<|z-c|=r<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m

b(m)={1/(2πi)}∫_{|z-c|=r}{g(z)/(z-c)^(m+1)}dz
b(m)=Res(g(z)/(z-c)^(m+1),c)…(2)
m=-1の時
b(-1)={1/(2πi)}∫_{|z-c|=r}g(z)dz
b(-1)=Res(g(z),c)
-----------------------------
(留数公式)
g(z)が
z=c でk位の極を持つ時
0<|z-c|=r<Rで正則な時
0<|z-c|=r<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m

(1),(2)から
Res(g(z)/(z-c)^(m+1),c)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}
m=-1の時
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
------------------------------------------------------------
ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

n≦-2の時
n+2≦0
0≦-n-2
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
は
|z-1|<rでz=-1で1位の極を持つから
留数定理から
{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)
となるから
a(n)=Res(g(z),-1)

Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
で
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
c=-1
k=1
とすると
Res(g(z),-1)
={1/(1-1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(1-1){(z-1)^(-n-2)}
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
=(-2)^(-n-2)

∴n≦-2の時
a(n)=(-2)^(-n-2)

n≧-1の時
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)は
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

(3)の
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}
で
c=-1
k=1
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
Res(g(z),-1)
={1/(1-1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(1-1){(z+1)/{(z+1)(z-1)^(n+2)}}
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

(3)の
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}
で
c=1
k=n+2
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
Res(g(z),1)
={1/(n+2-1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+2-1){(z-1)^(n+2)/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0

∴n≧-1の時
a(n)=0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
過去にii)の場合のa(n)の求める上でg(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m
や
b(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}は使っていなかったような気がするのですが、g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m
や
b(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}を使って解く方法もあるという事でしょうか？

また、なぜmは-1と固定されているのでしょうか？理由を教えて下さい。

お礼日時：2022/08/17 21:16

No.31 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/17 20:31

質問10

何が　極を持つか　主語をあきらかにしてください

この回答へのお礼

f(z)=1/(z^2-1)が主語になります。
i)0<r<2かつn≦-2の時はa(n)はコーシーの積分定理により0になりますが、0<r<2かつn≦-2の時はf(z)=1/(z^2-1)は1,-1のどちらも極を持っていなかったのでしょうか？

お礼日時：2022/08/17 21:13

No.30 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/17 20:25

質問12

k=n+1は間違いでした
k=n+2になおしてください

No.29 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/17 20:22

質問13

res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は
f(z)がz=aでn位の極を持つときという条件がなければ
間違いです
「
f(z)がz=aでk位の極を持つとき
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
」
という質問になおしてください

この回答へのお礼

ありがとうございます。
>> 「
f(z)がz=aでk位の極を持つとき
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
」

に関して質問がございます。
f(z)=1/(z^2-1)
i)0<r<2,n≧-1の時、
z→1の時、f(z)=1/(z^2-1)は1位の極を持つため、
res(f(z),1)=1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1)f(z)1/(z^2-1)
=1/(z+1)となったのですが、
正しい答えはa(n)=-1/(-2)^(n+2)です。

なぜf(z)=1/(z^2-1)の式は指数にnを含まれていない1(=k)位に極を持つのに正しいa(n)が導けないのでしょうか？

お礼日時：2022/08/17 21:56

No.28 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/17 17:16

質問9について

i)
f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z-1|<2
での(z-1)の級数展開
ii)
f(z)=1/(z^2-1)
の
|z-1|>2
での(z-1)の級数展開

どちらも中心がz=1の(z-1)の累乗級数展開だから

中心がz=-1の(z+1)の累乗級数展開は別の問題になります