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4元連立方程式が4本あれば、一般にその連立方程式は解くことができると思っているのですが、ただしいでしょうか?

また、4元連立方程式が3本あれば、文字が3つ消去されて、たとえば、その文字がa,b,c,dの4つならば、b=(aで表された式),c=(aで表された式),d=(aで表された式)のように、パラメーター1つで表せるという感覚は正しいでしょうか?
(いつも問題を解いていて、連立方程式の文字の個数と方程式の本数について上のようになんとなく理解しているのですが、理論を理解しておらず、気になったので質問しました。)
上の質問の一般論、
連立方程式の文字の個数と方程式の本数についての一般的な話がわかるサイトや本も教えてください、
また、大学の数学のどの分野を学べば、上のような話がわかるのでしょうか?

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A 回答 (3件)

以前は高等学校で行列(線形代数)を学ばないですね。

・・・ゆとり以前は学んでいたが、その後も復活しなかった。・・数学Bでちらっと出てくるかも

互いに独立した式が未知数の数以上あれば解けます。
行列式でいうと、行列式が0でないときは、解ける。--解がある。
行列式が、0のときは、不定、または不能となる。
x + y = 3
2x + 2y = 6
 これは不定・・
x + y = 2
x + y = 3
 これは不能

学ぶのは、「線形代数」ですね。
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殆どの場合、それでよいのですが



一般論としては両方とも正しく無い場合があります。
4元は面倒なので、

前の方は2元の例を示すと

x-2y=0
2x-4y=2

は解を持ちません。

後の方は3元で例を示すと

x-2y+z=0
2x-4y+2z=2

は解がなく

x-2y+z=0
2x-4y+3z=2

では、x、yをzで表わすことは出来ません。

線形代数の「正則」や「ランク」辺りを見て下さい。
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連立線型方程式とか線型方程式で検索して下さい。



>>4元連立方程式、式が4本あれば、一般にその連立方程式は解くことができる

式がお互いに独立してる事が条件。
独立とは、その中のどの式も他の式や式同士から導かれない。
a+b=1, 2a+2b=2 は式が2個あっても解けない

>>大学の数学のどの分野を学べば
線形代数
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Q四元一次連立方程式の解き方

a+b+c+d=5   ―(1)
3a+2b+c=0   ―(2)
27a+9b+3c+d=1 ―(3)
27a+6b+c=0   ―(4)

の解き方を教えてください。
私は、(4)-(2)をしたものと(3)-(1)したものに代入したのですがbとcが残ってしまい結果的に解くことができませんでした。

Aベストアンサー

1つずつ変数を消去して行けばいいでしょう。

質問する時はやった所までの解を書いて質問するようにして下さい。
補足に書いて下さい。

> (4)-(2)をしたものと(3)-(1)したものに
ここまでは合っています。
>(3)-(1)したもの
これと(2)からcを消去した式
と(4)-(2)をしたもの
をa,bの連立方程式として
解いて下さい。

解は
a=1,b=-6,c=9,d=1
となればOKです。

Q3元?連立方程式の解き方が分かりません。

(1)x+2y=-4
(2)x+y+z=6
(3)2y+3z=6
解き方が分からないので順を追って説明してもらえるとありがたいです!
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

2つの連立方程式が解けるのなら、どのような形にな
れば方程式が解けるかは分かりますよね。そうです、
 ●x+■y=▲という式と
 ○x+□y=△という式の2種類があれば解けます
よね。つまり、2種類の同じ文字が含まれた式が2
つあればアナタは解くことができるのです!では、
この3つの式からこのような形を作ることはできない
でしょうか。

 (2)の式を3倍してみましょう。
  3x+3y+3z=18
 ではこの式から(3)の式を引いてみましょう。
  3x+3y+3z-2y-3z=18-6
   3x+y=12
 
そうです。(2)と(3)の式から、3x+y=12という新し
い式ができたのです。この式と(1)の式を使って計
算してみましょう。
  x+2y=-4 
  3x+y=12
これは、今まで見慣れた連立方程式ではないですか。
 これを計算すると、xとyがでますよね。後はそれを
(2)や(3)の式に代入して計算すればzも出ますよ。

このように考えれば、方程式が何個あっても解くことが
できますよ。
 

2つの連立方程式が解けるのなら、どのような形にな
れば方程式が解けるかは分かりますよね。そうです、
 ●x+■y=▲という式と
 ○x+□y=△という式の2種類があれば解けます
よね。つまり、2種類の同じ文字が含まれた式が2
つあればアナタは解くことができるのです!では、
この3つの式からこのような形を作ることはできない
でしょうか。

 (2)の式を3倍してみましょう。
  3x+3y+3z=18
 ではこの式から(3)の式を引いてみましょう。
  3x+3y+3z-2y-3z=18-6
   3x+y=12
 
そうで...続きを読む

Q未知数4つ、式4つの方程式の問題です。

方程式の問題です。
a+b=1
ac+bd=1/2
ac^2+bd^2=1/3
ac^3+bd^3=1/4
a,b,c,dを求めたいのですが、
私には解けませんでした。
未知数、式が共に4つなので一意な解になると思うので、
わかる方解答をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。
丸投げ質問は禁止。それに対して答えを教えるのも禁止。

というわけで、
考え方の間違いだけを指摘するに留めます。


>>>未知数、式が共に4つなので一意な解になると思うので、

一次方程式ではないので、一意になるとは限りません。
確かなのは、aとbとの関係だけは一意であるということです。

まず、
b = 1-a を使って、下の3本のbを消去して、1本目の式をお役目御免とします。

次は、
なるべく次数の少ない式から着手します。
それはどれかといえば、2本目の式です。


あとは、地道に頑張ってください。


以上、ご参考になりましたら。

Q(高3)4元2次方程式がとけません。

4元2次方程式が解けません!(>_<)
元々は2行2列の行列の計算なんですが、そこから下の連立式までは立てられました。

4元2次方程式が解けないんです。(高3行列の解き方から)

("^n"はn乗を表すものとします)
a^2 + bc = 19 - (1)
ab + bd = 9 - (2)
ac + cd = -30 - (3)
bc + d^2 = -14 - (4)
上記を満たす、a, b, c, dを求めよ。ただし、a+d > 0 とする。

もしかしたら、上の連立方程式が間違っているんでしょうか(^_^;)
(1)-(4)から、a^2 - d^2 = 33 つまり (a + d)(a - d) = 33
(2)-(3)から、b(a + d) = 9, c(a + d) = -30 なので、(a + d)(b - c) = 39
(2)と(3)の比率から、b : c = 9 : -30 なので、b = -(3/10)c
まではわかったんですが、文字が消えてくれないーーー!(>_<)

Aベストアンサー

#2です。
A#2の補足について
> b=19/(a+d)>0
> c=-30/(a+d)<0
> からいきなり解がまだ出せていませんが、自分でも計算してみます。
解けませんか?

解き方のアドバイス
a+d=p>0, a-d=p …(5)
とおいてみて下さい。

A#2の補足の式から
b=19/p …(6)
c=-30/p …(7)
(1)-(4)から
a^2-d^2=(a+b)(a-b)=33
pq=33
q=33/p …(8)
(1)+(4)から
a^2+d^2+2bc=5
(a+d)^2+(a-d)^2+4bc=10
(5),(6),(7)を代入
p^2+q^2-1080/p^2=10
(8)から
p^2+9/p^2-10=0
p^4-10p^2+9=0
(p^2-1)(p^2-9)=0
p>0より
p=1,p=3
(8)から
(p,q)=(1,33),(3,11)
(5)から
(a,d)=(17,-16),(7,-4)
(6),(7)から
A#2に書いた(a,b,c,d)の組が出てきます。

#2です。
A#2の補足について
> b=19/(a+d)>0
> c=-30/(a+d)<0
> からいきなり解がまだ出せていませんが、自分でも計算してみます。
解けませんか?

解き方のアドバイス
a+d=p>0, a-d=p …(5)
とおいてみて下さい。

A#2の補足の式から
b=19/p …(6)
c=-30/p …(7)
(1)-(4)から
a^2-d^2=(a+b)(a-b)=33
pq=33
q=33/p …(8)
(1)+(4)から
a^2+d^2+2bc=5
(a+d)^2+(a-d)^2+4bc=10
(5),(6),(7)を代入
p^2+q^2-1080/p^2=10
(8)から
p^2+9/p^2-10=0
p^4-10p^2+9=0
(p^2-1)(p^2-9)=0
p>0より
p=1,...続きを読む

Q4つの文字の連立方程式が解けない

もともとは行列の成分比較の問題なのですが、
その過程における4文字の連立方程式が解けないです。

a2乗+bd=1・・・(1)
b(a+d)=0・・・(2)
c(a+d)=0・・・(3)
bc+d2乗=4・・・(4)

自分としては(2)と(3)から、b=c=0かa+d=0のどちらかになるとわかっていて、
結論としては、a=±1 b=c=0 d=±2になると解答にかいてあったのですが,
どうして、a+d=0だとこの式が成り立たなくなるのかが証明できません。
解答には証明が載っていませんでした。
背理法とかを用いて証明すればよいと思うのですが、
どなたかどうしてa+d=0だとこの式が成り立たなくなるのかを証明してください。

Aベストアンサー

もしかしたら1番目の式は
a^2+bc=1 ではないでしょうか?

ならばa+d=0の場合、a=-dで1番目の式と4番目の式が同じになり
簡単に矛盾が示せます。


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