a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz の式にf(z)=1/

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
の式にf(z)=1/(z-1)^2を代入して、a(n)の式を求めるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

最後に画像の緑の下線部の式は、赤い下線部の式と同じ式でしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/05 20:37

緑の下線部の式のzをz→1とすると

赤い下線部の式になる

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/05 16:56

f(z)=1/(z-1)^2

の
z=1の周りのローラン展開は

1/(z-1)^2=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

↓1/(z-1)^2=(z-1)^(-2)だから

(z-1)^(-2)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

左辺は(z-1)^(-2) の項しかないから
右辺も(z-1)^(-2)=(z-1)^n (n=-2) の項しかないから
n≠-2の時a(n)=0
左辺の(z-1)^(-2)の係数は1だから
右辺も(z-1)^(-2)=(z-1)^n (n=-2) の係数は1だから
a(-2)=1

1/(z-1)^2 のローラン展開は　1/(z-1)^2 そのまま一切変形不要

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/05 09:18

f(z)=1/(z-1)^2

の
z=1の周りのローラン展開は

f(z)=1/(z-1)^2=Σ_{n=-2～-2}a(n)(z-1)^n
a(-2)=1
n≠-2の時a(n)=0

となります

この回答へのお礼

ありがとうございます。

すいません。

f(z)=1/(z-1)^2=Σ_{n=-2～-2}a(n)(z-1)^nの式からa(-2)=1の式を求めるまでの過程の計算を教えて下さい。

また、
n≠-2の時にa(n)が0になるまでの過程の計算を教えて下さい。


ちなみに、質問の画像はf(z)=1/(z^2-1)の時の過程の計算の式です。こんがらないように書いておきます。なので一つ目の質問とは別物です。

お礼日時：2022/07/05 09:39

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/05 02:27

緑の下線部の式と赤い下線部の式をよく見比べましょう。

同じ式のわけがないでしょう。

a(n) = {1/(2πi)} ∮_{C} { f(z)/(z-1)^(n+1) }dz を
写真２行目の式へ変形するために
写真１行目の式を使って留数定理に持ち込んでいる...
って、オイ！ 写真の式は
＞ a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
＞ の式にf(z)=1/(z-1)^2を代入
する計算じゃありませんよね。