res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
に関して、g(z)=tan(z)/(z-π/2)とした時、
①の式から
res(f(z),a)=lim[z->a]d/dz((z-a)^2g(z))を求めるまでの過程の式を教えて下さい。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2022/07/15 15:31

(z-π/2)^2g(z)＝－(ｚ-π/2)cos(ｚ-π/2)/sin(ｚ-π/2)

　　　　　　　＝-ｗcosｗ/sinw　w＝ｚ-π/2　と変形して
G(ｗ)＝-ｗcosｗ/sinwとおけばｗ→0のときG(ｗ)→-1なので
G(0)＝-1とおけばG(ｗ)はｗ＝0の近傍で正則だから導関数
G’(ｗ)はｗ→0のときG’(ｗ)→G’(0)
ところでG(ｗ)は明らかに偶関数だからG(ｗ)＝G(-ｗ)より
G’(ｗ)＝-G’(-ｗ)　G’(0)＝-G’(0)　ゆえにG’(0)＝0
ゆえにNo3のlim[z->π/2]d/dz((z-π/2)^2g(z))は
＝lim[z->π/2]d/dz(G(ｚ-π/2))＝lim[z->π/2](G’(ｚ-π/2))
＝lim[ｗ→0](G’(ｗ))＝G’(0)＝0　です。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/14 20:27

「n≧-1の時」「n=2として」って何じゃい？

① を f(z) = g(z) = (tan z)/(z - π/2),　a = π/2 に当てはめるなら、
n は z = π/2 における g(z) の位数だから、 n = 2 でなければならない。
「n≧-1の時」という場合分けは発生しない。

＞ res(f(z),π/2) = 1/(n-1)! lim[z->a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z)
＞ と ③ が一致しない事がわかりました。
いや、一致している。 それぞれの値がどうなって「一致しない」のか
を書かなければ、「どこで計算を間違った」かは指摘しようがない。
①,③,④ は f(z) = g(z) = (tan z)/(z - π/2),　a = π/2,　n = 2
を代入すればどれも同じ式で、要するに
Res[g(z),π/2] = lim [z→π/2] (d/dz) (z - π/2)(tan z) ...⑤ になる。

⑤ を計算してみよう。
(d/dz) (z - π/2)(tan z) = 1(tan z) + (z - π/2)(1/cos^2 z)
= { (sin z)(cos z) + (z - π/2) }/cos^2 z.
ここまでは、単なる積の微分法。

次に h = z - π/2 と置くと
Res[g(z),π/2] = lim [z→π/2] (d/dz) (z - π/2)(tan z)
= lim [z→π/2] { (sin z)(cos z) + (z - π/2) }/cos^2 z
= lim [h→0] { sin(h + π/2)cos(h + π/2) + h }/cos^2 (h + π/2)
= lim [h→0] { (cos h)(- sin h) + h }/sin^2 h.

これに ロピタルの定理を使うと、
Res[g(z),π/2] = lim [h→0] ((cos h)(- sin h) + h)/sin^2 h
= lim [h→0] { (d/dh) ((cos h)(- sin h) + h) }/{ (d/dh) sin^2 h }
= lim [h→0] { (- sin h)(- sin h) + (cos h)(- cos h) + 1 }/{ (2 sin h)(cos h) }
= lim [h→0] { - cos(2h) + 1 }/{ sin(2h) }
= lim [h→0] (-1){ (cos(2h) - 1)/(2h) }/{ sin(2h)/(2h) }
= (-1) (cos’ 0) / (sin’ 0)
= (-1) (‐ sin 0) / (cos 0)
= 0.

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2022/07/14 17:54

lim[z->π/2]d/dz((z-π/2)^2g(z))を求めよ

ってことですか？

この回答へのお礼

そうです！

お礼日時：2022/07/14 19:07

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/14 14:09

下の式で

f(z) と g(z) の関係が示されていないことと
a の値が書かれていないこと
が大変気に入らないが...

f(z) = g(z), a = π/2 でよいのなら、結局、
①の公式をあてはめたものが下の式になるためには
z = π/2 が g(z) の 2 位の極であることを確認せよ　←(*)
ってだけの話だ。

以上の話がピンと来なかったのであれば、
この問題を解くのはまだ早いから
教科書で留数定理の周辺をきちんと読み直してから
にしたほうがいい。
掲示板の字数で説明するには、分量が多すぎる。

(*) をするには、 lim[z→π/2] (z - π/2)^2 g(z) が収束することと
lim[z→π/2] (z - π/2) g(z) が発散することを言えばいい。
lim[z→π/2] (z - π/2) g(z) = lim[z→π/2] tan(z).
これが発散することは知っているね？
lim[z→π/2] (z - π/2)^2 g(z) = lim[z→π/2] (z - π/2) sin(z)/cos(z)
= lim[h→0] h (cos h)/(- sin h) = lim[h→0] (- cos h)/{ (sin h)/h }
= -1・1

よって z = π/2 が g(z) の 2位の極であることが解ったから、
①に f(z) = g(z), a = π/2, n = 2 を代入して下の式が得られる。

この回答へのお礼

g(z)=tan(z)/(z-π/2)
-->これはtanzは1位の極なので実際は2位の極となり
res()=lim [z->a] d/dz(z-π/2)^2・g(z)...④となります

res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

n≧-1の時、
res()=lim [z->a] d/dz(z-π/2)^2・g(z)
g(z)=tan(z)/(z-π/2)より、
res()=lim [z->a] d/dz(z-π/2)・tan(z)

n=2として、
res()=1/(2-1)! lim [z->a] (d/dz)^(2-1)(z-π/2)・tan(z)

res()=1/(n-1)! lim [z->a] (d/dz)^(n-1)(z-π/2)・tan(z)...③

と導けたと思ったのですが、
n=2の時のres(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)と③が一致しない事がわかりました。
どこで計算を間違ったのでしょうか？

お礼日時：2022/07/14 19:26

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/14 04:16

言葉が全く足りない.

f(z) ってなに? a って何? n って何?

(d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z) はどう解釈するの?

まさか, その辺を全て「お前が俺の思っているように都合よく理解しろ」なんていわないよね?