y=log|tan(x÷2)|のビブン

y=log|tan(x÷2)|のとき、y'=1÷sinxと解答にかいてありました。僕の教科書には解説がないので色々考えましたがなかなか解けません。どなたか解説いただけないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： mmk2000 回答日時： 2006/09/01 01:58

シンプルに考えてみます。

合成関数の微分は大丈夫ですよね？
tan(x)'=1/cos(x)^2
です。
だから、
y'=tan(x/2)'÷tan(x/2)
={1/cos(x/2)^2÷tan(x/2)}×(x/2)'
={1/cos(x/2)^2÷sin(x/2)/cos(x/2)}×1/2
=約分して
={1/cos(x/2)sin(x/2)}×1/2
=1/2sin(x/2)cos(x/2)
=2倍角の公式を使って
=1/sin(x)

これじゃだめですかね？

No.1 回答者： debut 回答日時： 2006/09/01 00:44

まず、y'={tan(x/2)}'/tan(x/2)ですよね。

ここで、半角の公式から、tan^2(x/2)=(1-cosx)/(1+cosx)なので、
tan(x/2)＞0とすれば、tan(x/2)=√{(1-cosx)/(1+cosx)}
すると、
{tan(x/2)}'={(1-cosx)/(1+cosx)}'/[2√{(1-cosx)/(1+cosx)}]・・☆
ここで、
{(1-cosx)/(1+cosx)}'={sinx(1+cosx)+sinx(1-cosx)}/(1+cosx)^2
　　　　　　　　　　=2sinx/(1+cosx)^2　なので、
☆は、={2sinx/(1+cosx)^2}/{2tan(x/2)}
　　　=sinx/{(1+cosx)^2*tan(x/2)}

よって、
　y'=sinx/{(1+cosx)^2*tan^2(x/2)}
　　　　　tan^2(x/2)=(1-cosx)/(1+cosx)を入れて、1+cosxを約分すると
　　=sinx/{(1+cosx)(1-cosx)}
　　=sinx/(1-cos^2x)
　　=sinx/sin^2x
　　=1/sinx

　そして、tan(x/2)＜0のときも同じ結果です。