f(z)=1/(z^2-1)の時、 i) 0<r<2 C={z||z-1|=r} の時は a(n)=

f(z)=1/(z^2-1)の時、
i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
の時は

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzの式は使えず
res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
あるいは
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}(※k=1の時のみ使えるa(n)の式)
を使うしかa(n)を求められなかったような気がするのですが、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12750669.html

の2022.1.11 16:32
で
「i)
a=1
0<r<2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

n≦-2の時
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
D={z||z-1|<2}
とすると

g(z)は|z-1|<2で正則だから

(コーシーの積分の定理)
関数g(z)が領域D内で正則で、
D内にある単一閉曲線Cで囲まれた領域がDの内部にある
ならば
∳_{C}g(z)dz=0
が成り立つ
から
∳_{C}g(z)dz=0

↓C={z||z-1|=r},g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}だから

∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz=0
だから
a(n)=0

n≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1でn+2位の極を持つから
a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
={(-1)^(n+1)}/2^(n+2)
∴
a(n)={(-1)^(n+1)}/2^(n+2)　←…(赤い下線部のanの式)」
と書いてあり混乱しています。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます！
  
  あの
  g(z)=tan(z)/(z-π／2)^(n+1)とした時、なぜ、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って積分できなかったのでしたっけ。
  
  また、
  f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)とした場合、res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)からa(n)を導くまでを、
  もう一度書いて頂けないでしょうか？
  
  
  
  2022.8.29 03:13に投稿した
  フーリエ変換の問題。
  
  2022.8.29 15:35に投稿した
  ハートの図を作る離散フーリエ変換
  
  2022.8.27 19:43に投稿した
  質問1〜4に関してどうか解答して頂けないでしょうか

  
    補足日時：2022/09/01 12:07

• あの最後に
  g(z)=tan(z)/(z-π／2)^(n+1)とした時、なぜ、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って積分できなかったのか教えて頂けますか？

  
    補足日時：2022/09/01 22:51

• わかりました。
  
  あの最後に
  g(z)=tan(z)/(z-π／2)^(n+1)とした時、なぜ、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って積分できなかったのか教えて頂けますか？
  
  {1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz=Res(g(z),a)とどうやって求めたか教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/09/02 09:05

No.7 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/02 09:17

留数Resの定義から

Res(g(z),a)={1/(2πi)}∫_{|z-a|=r}g(z)dz

となるのです

a=1
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
でなければ
{1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz=Res(g(z),a)
は
間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
画像についても答えて頂けるとありがたいです

お礼日時：2022/09/02 09:20

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/02 06:09

f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}とした場合、

は
lim_{z→1}(z-1)^(n+1)f(z)=lim_{z→1}1/(z^2-1)=∞に発散し
lim_{z→1}(z-1)^(n+2)f(z)=lim_{z→1}1/(z+1)=1/2に収束するから
f(z)はz=1でn+2位の極を持つというのです

a=1
lim_{z→a}(z-a)^nf(z)=lim_{z→1}1/{(z^2-1)(z-1)}=∞に発散するから
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は
間違いです

f(z)はn+2位の極を持つのだから
f(z)に
(z-a)^(n+2)をかけて
(z-a)^(n+2)f(z)
としなければz→a=1の時収束しません
f(z)に
(z-a)^nをかけて
(z-a)^nf(z)
としただけではz→a=1の時発散します

res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

の左辺のf(z)の極の位数はn+2、右辺f(z)の極の位数はn

n+2とnが同じになるはずはないのです
だから
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は間違いです使えません

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/02 04:07

f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}とした場合、

は
z=1でn+2位の極を持つけれども

f(z)がz=1でn位の極を持つ時に限り
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
がなりたつのだから

f(z)はz=1でn(≠n+2)位の極を持たないのだから
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は
間違いです使えません

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/01 17:13

f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}とした場合、

は
z=1でn+2位の極を持つけれども
z=1でn位の極を持たないから
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は
間違いです

この回答へのお礼

確かにf(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
でz=1の時はn+2位の極を持つから

(z-a)^nの含まれる
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)は使えますが、

z=-1の時は1位なのでa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}あるいは
Res(g(z),a)=lim{z→a}(z-a)g(z)しか使えないですね。

a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzは所詮Res(g(z),a)を導くための式でしかなく、
a(n)の計算はres(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
や
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
や
Res(f(z),a)=lim{z→a}(z-a)f(z)
を使うしかないですからね。

ちなみに、どうやってa(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzから
Res(g(z),a)を導いたのですか？

お礼日時：2022/09/02 00:12

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/01 17:09

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

は
z=π/2でn+2位の極を持つから
f(z)=Σ_{m=-n-2～∞}a(m)(z-π/2)^m
となるので
f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の
n
と
a(n)
の
nを
同じnを使ってはいけません

m≦-n-2の時a(m)=0

f(z)=tan(z)
と
f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
を
同じf(z)を使ってはいけません
同じa(n)を使ってはいけません

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/01 11:11

n≧-1の時

1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1でn+2位の極を持つから
a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
となっていますが

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
から
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
を
導いているわけではありません

g(z)がz=aでk位の極を持つとき
Res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1){(z-a)^k}g(z)
が成り立つという留数公式を使って
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=a=1でk=n+2位の極を持つから
Res(g(z),1)
={1/(n+2-1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+2-1){(z-1)^(n+2)}/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
となっているのです

g(z)がz=aでk位の極を持つとき
g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-a)^m…(1)
b(-1)=Res(g(z),a)…(2)
が成り立つ
b(-1)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1){(z-a)^k}g(z)…(3)
が成り立つから
(2),(3)から
Res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1){(z-a)^k}g(z)
が成り立つのだから
(2)から(3)を求めているのではありません
(1)から(3)を求めているのです

g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)の展開(1)から(3)を求めて
k=n+2として
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
と求めているという事は
結局
f(z)=1/(z^2-1)の展開
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
↓n+1回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
と
求めているのと同じ事になるのです

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
や
Res(g(z),a)
を使って直接a(n)を求めているのではありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≦-2の時はa(n)=0で正しいでしょうか？

お礼日時：2022/09/01 13:22

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/01 10:21

res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

は
間違いです
f(z)=1/(z^2-1)はz=π/2でn位の極を持たないから間違いです

この回答へのお礼

あ、そうでした！

res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)には
(z-a)^nが含まれているため、nの指数を持たないf(z)=1/(z^2-1)は使えませんでした！

ありがとうございます！


では、
「i)
a=1
0<r<2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)」の時には
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzは使えないと言われましたが、
載せたURLの2022.1.11 16:32は間違いなのでしょうか？
間違っていない場合は間違っていない理由を教えて下さい。
正しい場合はなぜ正しいのかを教えて下さい。

お礼日時：2022/09/01 10:31