体積(積分）

Y=√3sinx-cosx(π/6≦x≦7π/6)
のグラフとx軸で囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立方体の体積をＶとするとＶ＝？

Ｖ＝π∫(Y＾2)ｄｘ
＝4π∫sin＾2(x-π/6)dx
=4π∫1-cos(2x-π/3)/2dx
=2π＾2
について、できるだけ詳細の途中式の計算を教えてくれませんか？

おねがいします

No.1 回答者： proto 回答日時： 2004/07/10 00:36

Y=√3sinx-cosx(π/6≦x≦7π/6)　－(1)

Ｖ＝π∫(Y＾2)ｄｘ　－(2)
＝4π∫sin＾2(x-π/6)dx　－(3)
=4π∫1-cos(2x-π/3)/2dx　－(4)
=2π＾2　－(5)

(1)について((3)でいきなり使ってあります)
Y=√3sinx-cosx=2sin(x-π/6)　　(三角関数の合成)

(2)について
これは回転体の体積の公式そのままです
ちなみにπ/6から7π/6までの定積分なので
Ｖ＝π∫[π/6,7π/6](Y＾2)ｄｘ
となります
(回転体を輪切りにしたときの断面積を積分しています)

(3)について
与えられたYの式を代入しています4はインテグラルの外へ出してあります

(4)について
半角の公式を使っています
(sin(x/2))^2=(1-cosx)/2
xを2xで書き換えて
(sinx)^2=(1-cos(2x))/2
この変形が分からなくても難しく考えず
よく眺めて見ると意味は全く同じです

(5)について
(4)を積分すると
4π[x/2-(sin(2x-π/3))/4]
となるのでπ/6、7π/6をそれぞれ代入して引くと
　V=2π＾2
が答えとして出ます

一つ一つのステップをしっかり理解していけば
それほど難しくなく解けると思います