３重積分

円柱座標を用いて

球：ｒ＾２+ｚ＾２≦a＾２　、と直円柱：r≦acosθ（a＞0）の共通部分の体積を求めようとしているのですが立式できません。誰か教えてください。一応積分範囲は-a≦z≦a ,-π/2≦θ≦π/2　、0≦r≦acosθ
と考え計算してみたのですが答えが合いません。答えは２（３π－４）a＾２/９です。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/14 15:26

#2です。

A#2の

>=(4/3)(a^3)∫[0,π/2] (1-sin^3(θ)) dθ
>= ... ←この途中計算はやってみて下さい。
>=2(3π-4)(a^3)/9

この位積分できませんか？

３倍角の公式より
　sin^3(θ)=(3/4)sinθ-(1/4)sin(3θ)
なので
V=(4/3)(a^3)∫[0,π/2] (1-sin^3(θ)) dθ
=(4/3)(a^3)∫[0,π/2] dθ-(a^3)∫[0,π/2] (sinθ-(1/3)sin(3θ)) dθ
=(2π/3)(a^3)-(a^3)[-cosθ+(1/9)cos(3θ)] [0,π/2]
=(2π/3)(a^3)-(a^3){1-(1/9))
=2(3π-4)(a^3)/9

となります。

全くの他力本願に頼らず、高校レベルの三角関数の積分は高校の教科書の微積の所を復習して置くようにして下さい。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/11 14:38

>答えは２（３π－４）a＾２/９です。

明らかに間違い。
体積なので
　V=２（３π-４）a^3　/９
が正解の答えです。

立体の対称性を使えば
V=4∫[0,π/2]dθ∫[0,a cosθ]　((a^2-r^2)^(1/2)) r dr
=4∫[0,π/2] dθ[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)] [0,a cosθ]
=4∫[0,π/2] (1/3)[a^3-(a^2-a^2 cos^2(θ))^(3/2)] dθ
=(4/3)(a^3)∫[0,π/2] (1-sin^3(θ)) dθ
= ... ←この途中計算はやってみて下さい。
=2(3π-4)(a^3)/9

No.1 回答者： WiredLogic 回答日時： 2012/02/11 14:17

問題は、その通りでいいのですか？

元は違う形の問題を、円柱座標を使って表すときに、
ミスがあって、その過程のものを投稿なさっている
気がします。

気になるポイントは２つで、

1. 0≦r≦acosθ のところは、円柱との重なる部分は、
　その通りですが、上下の球の一部のところは、
　0≦r≦√(a^2-z^2)なので、例えば、
　0≦r≦min{acosθ, √(a^2-z^2)}のようでないといけないはず。
　これは、計算上の単なるミスですが、

2. r≦acosθのθは定数でないと円柱にならないのでは？
　ただ、それを、別の定数、例えばαで表したとしたら、
　答にαが出てくるはず。そうでないので、
　元の問題は違っていたのでは、というふうに思っています。