数学、複素数の問題です。 2つの複素数 z1=-1+3i，z2=1+2i の複素数平面における正の最

数学、複素数の問題です。

2つの複素数 z1=-1+3i，z2=1+2i の複素数平面における正の最小の偏角をそれぞれθ1，θ2とする。
(1)θ1-θ2を求めよ
(2)z1^n/z2^n が正の実数となるような最小の自然数nと、その正の実数を求めよ

(2)が求められず、困っています。角度がキレイな角度ではないため、どうすればよいのかわかりません。
どなたか解いて頂けませんか？
ちなみに(1)はtan^-1(-3)-tan^-1(2)になりました。
回答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 複数の回答ありがとうございます。
  誠に勝手ながら、1番早く完璧な解答を頂いた ゼロプライム さんをベストアンサーとさせて頂きます。
  皆さん御協力ありがとうございました。

    補足日時：2020/05/06 15:04

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/06 05:08

(1)

z1=r1(cosθ1+isinθ1)
z2=r2(cosθ2+isinθ2)
とおくと、
z1/z2=(r1/r2){cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)}

z1/z2=(-1+3i)/(1+2i)
=(-1+3i)(1-2i)/(1+2i)(1-2i)
=(5+5i)/5
=1+i
=√2(cos π/4 + isin π/4)

よって、
θ1-θ2＝π/4

(2)
z1^n/z2^n=(z1/z2)^n
={√2(cos π/4+isin π/4)}^n
=(√2)^n・(cos π/4+isin π/4)^n
=(√2)^n・(cos nπ/4+isin nπ/4)

よって、
nπ/4=2π
n=8

z1^8/z2^8=(√2)^8・(cos 8π/4+isin 8π/4)
=16

この回答へのお礼

詳しい解答ありがとうございます。
ベストアンサーとさせて頂きます。

お礼日時：2020/05/06 15:05

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/06 09:20

θ1, θ2 が正の最小の偏角だということは、

0 ≦ θ1 < 2π, 0 ≦ θ2 < 2π を意味している。
よって -2π < θ1 - θ2 < 2π である。
e^( i(θ1 - θ2 ) ) = e^( iπ/4) だけからは、まだ
θ1 - θ2 = π/4 - 2π である可能性が除外できていない。

θ1 - θ2 = π/4 と結論するためには
θ1 > θ2 を添えるといい。
z1, z2 の実部虚部の正負を見れば、
π/2 < θ1 < π, 0 < θ2 < π/2 が言える。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/06 05:36

>z1/z2=(-1+3i)/(1+2i)=(-1+3i)(1-2i)/5=(5+5i)/5=1+i=√(2)(cos45°+isi

あれれ？ ちぎれてる。
z1/z2=(-1+3i)/(1+2i)=(-1+3i)(1-2i)/5=(5+5i)/5=1+i=√(2)(cos45°+isin45°)

「正」の実数だから n=8

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/06 03:46

z1/z2=(-1+3i)/(1+2i)=(-1+3i)(1-2i)/5=(5+5i)/5=1+i=√(2)(cos45°+isi