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解答説明がなくて困っています。解答は-1/17 です

Σ 1/4^n cos1/2nπ を求めよ。
n=1
です。Σのところの記入方法が解らなかったので、式を写真添付します。よろしくお願いします。

「無限級数 Σ 1/4 cos 1/2 n」の質問画像

A 回答 (4件)

こんばんは



とりあえず、こういう問題でつまづいたら、

1から代入してみる! というのが常套手段でね♪

4^(-n)×cos(1/2 nπ) これだよね。

自然数で、nを無限まで飛ばすということだよね。

n=1;1/4×cos (1/2 π) =0 (cosのところが0ですね)

n=2;1/16 × cos π =-1/16

奇数のところはゼロになりますね。cosが0ですから。

偶数のところで、cosは+1か-1かでしかでてこないね。

これだけ分かれば次にでてくるのは、 1/256 が出てくるのは見えるかな?

級数になっているのは分かると思いますよ。

奇数のところは、後から引いてもいいけどね。

落ち着いてゆっくりとこう。 m(_ _)m

 ちゃんとやったらでてきますから。大丈夫だよ
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この回答へのお礼

B-jugglerさま
丁寧に教えてくださり、ありがとうございました。解けました!!!
ほんとうにありがとうございました。

お礼日時:2010/04/16 21:35

数学なんてのは答えが出なきゃだめ、答えを出すことのみに意味がある


という観点から答えを書きましょう
C=Σ(n=1→∞)1/4^n cos(nπ/2) 
ここで
S=Σ(n=1→∞)1/4^n sin(nπ/2)
とおく。
Z=C+iS(iは虚数単位) を作るとオイラーの定理cosx+isinx=e^(ix)より
Z=Σ(n=1→∞)1/4^n e^(inπ/2)
=Σ(n=1→∞)( e^(iπ/2)/4)^n
これは項比がr=e^(iπ/2)/4=i/4の等比級数の和で項比の絶対値が1より小さく、絶対収束する。
級数の和は
Z=(n=1→∞)r(1-r^n)/(1-r)=r/(1-r)
=i/4/(1-i/4)=(-1/4+i)*4/17
ほしいのはこの実数部すなわち
-1/17

わかるかな。
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おはようございます。



見た目、悩んでしまうかもしれませんが、
ちょっと視点を変えるとそんなに難しくないことが見えてきます。

cos(nπ/2)の値だけを考えてみます。
#2さんも言われているように n= 1, 2, 3, 4, 5,・・・と代入してみましょう。
もっと直感的には、単位円を描いて考えてもよいと思います。

そうすれば、#1さんが言われている意味がわかると思いますよ。^^
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この回答へのお礼

naniwacchiさま
いつも解説ありがとうございます。naniwacchiさんのおっしゃるように代入してみて、理解できました。本当にありがとうございました。また、よろしくお願いします。

お礼日時:2010/04/16 21:44

これ, ただの等比級数だよね.

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